$2x^2 + 3y^2=0$ . Esto es posible sólo cuando tanto el valor de $x$ y $y$ son cero. Pero la cosa es que no entiendo el significado de esta ecuación. ¿Por qué existiría tal ecuación o por qué las creamos?
Respuestas
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Como usted nota, la única solución para $\;2x^2 + 3y^2 = 0$ es de hecho $(x, y) = (0, 0)$ . No es una pregunta muy interesante, en sí misma. Nadie con un mínimo de creatividad simplemente crear la ecuación para hacerla pasar por un ejercicio: pocos profesores o textos lo harían, me imagino.
Pero puede suceder que algo así "aparezca" en el proceso de resolución de una ecuación más compleja, después de simplificar/cancelar, o cuando se buscan "ceros".
Si tú hizo significa escribir $2x^2 + 3x^2 = 5x^2 = 0 \implies x = 0$ que podría ser incluso menos interesante de una ecuación, pero puede aparecer al encontrar los ceros de, digamos, $f(x) = 5(x^4 - x^2) = 5x^2(x^2 - 1) = 5x^2(x-1)(x+1),\;$ que no es demasiado interesante, pero el punto es que muchos ejercicios se crean simplemente para probar un concepto o técnica en particular, ya que podría utilizarse esta función ligeramente más complicada.
Michael Weiss
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La interpretación de esta ecuación mediante la geometría analítica nos dice algo. La ecuación $$2x^2+3y^2=r^2$$ con $r>0$ es una elipse con centro en $(0,0)$ . Como $r$ se encoge a 0, la elipse se hace cada vez más pequeña, hasta que finalmente cuando $r=0$ se encoge hasta cierto punto. La gente a veces dice que $2x^2+3y^2=0$ da un elipse degenerada .
También podemos graficar la ecuación $z=2x^2+3y^2$ en tres dimensiones. El gráfico es una especie de cuenco, más ancho a lo largo del eje x que a lo largo del eje y. Si lo cortamos con un plano horizontal $z=k$ conseguimos la elipse $2x^2+3y^2=k$ siempre y cuando $k>0$ . Cuando $k=0$ el plano horizontal es sólo el plano xy, que es tangente al cuenco en el punto único (0,0,0). Y cuando $k<0$ el avión y el bol no se cruzan en absoluto.
En general, cuando las personas estudian las ecuaciones (o sistemas de ecuaciones) en varias variables, a menudo miran familias enteras de ecuaciones: es decir, incluyen una o más parámetros en la ecuación (como $k$ o $r$ arriba). En ciertos valores específicos de los parámetros, pueden ocurrir cosas especiales. El estudio de esos valores especiales es importante en varias ramas de las matemáticas y la física.
Otro ejemplo que puede ser interesante: $x^2-y^2=k$ . Cuando $k>0$ tenemos una hipérbola que se abre a la derecha y a la izquierda. Cuando $k<0$ tenemos una hipérbola que se abre por arriba y por abajo. ¿Puedes decir lo que obtenemos cuando $k=0$ ? (Pista: factor $x^2-y^2$ .)
