Demostrando una identidad integral: $\int\nolimits_{-\infty}^\infty x f(x)f(t-x) dx =\frac{t}{2} \int_{-\infty}^\infty f(x)f(t-x) dx $

Question

Que $f$ ser una no negativa función (probablemente no sea necesaria) en $\mathbb{R}$ tales que para todos los $t$, $xf(x)f(t-x)$% y $f(x)f(t-x)$ son integrables en $x$.

¿Es cierto $$ \int\nolimits_{-\infty}^\infty x f(x)f(t-x) dx =\frac{t}{2} \int_{-\infty}^\infty f(x)f(t-x) dx $de % $ % todo $t$?

He encontrado que esto es cierto si $f(x)=e^{-|x|} $ o $\frac{1}{1+x^2}$.

Answer 1

Es cierto. Observe que $$\int_{-\infty}^\infty xf(x)f(t-x)dx = \int_{-\infty}^\infty(t-x)f(t-x) f(x)dx.$$ This follows from the substitution $x = t-u$, o el hecho de que circunvolución es simétrica.

Desde aquí, uso de linealidad de la integral para dividir $(t-x)$ y encuentra su ecuación.

Espero que ayude