Encontrar un límite inferior de $a^2(\boldsymbol{x}^\textrm{T}\boldsymbol{A}\boldsymbol{y})^2-(\boldsymbol{x}^\textrm{T}\boldsymbol{A}\boldsymbol{x})^2$

Question

Me gustaria saber si hay un buen para encontrar el límite inferior de la siguiente expresión: $$\begin{equation} \min_{\boldsymbol{x}}\,a^2(\boldsymbol{x}^\textrm{T}\boldsymbol{A}\boldsymbol{y})^2-(\boldsymbol{x}^\textrm{T}\boldsymbol{A}\boldsymbol{x})^2 \end{equation}$$ donde $a>0$ es algo constante; $\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in\mathbb{R}^n$ tienen norma unidad; y $\boldsymbol{A}\in\mathbb{R}^{n\times n}$ es una matriz simétrica. $\boldsymbol{A}$ $\boldsymbol{y}$ son conocidas. También se puede escribir como: $$\begin{equation} \min_{\boldsymbol{x}}\,(a\boldsymbol{y}-\boldsymbol{x})^\textrm{T}\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}\boldsymbol{x}^\textrm{T}\boldsymbol{A}(a\boldsymbol{y}+\boldsymbol{x}) \end{equation}$$ o $$\begin{equation} \min_{\boldsymbol{x}}\,\boldsymbol{x}^\textrm{T}\boldsymbol{A}(a^2\boldsymbol{y}\boldsymbol{y}^\textrm{T}-\boldsymbol{x}\boldsymbol{x}^\textrm{T})\boldsymbol{A}\boldsymbol{x} \end{equation}$$ esto se relaciona con una pregunta trivial antes pregunté, cualquier ayuda es apreciada, muchas gracias!

¿Editar: en otras palabras, hay un $a$ que el término anterior más de $0$?

Answer 1

No puedes.

Para cualquier $y$, hay un $(n-1)$-dimensional espacio de vectores $x$ $x^TAy =0$ (el complemento ortogonal de $Ay$). Para cualquiera de estos vectores y para cualquier $a$, $$a^2 (x^TAy)^2 - (x^TAx)^2 = -(x^TAx)^2 <= 0, con sólo si igualdad $x$ es en el núcleo de $A$. Por lo tanto es la única vez que el mínimo se garantiza que sea no negativo si, % o $A=0$ $A$tiene rango uno con $y$ en el espacio de la columna de $A$ (en cuyo caso hará cualquier $a\geq 1$).