Interpretación geométrica $|z-1| = Re(z+1)$

Question

Me gustaría preguntarle sobre el ejemplo de abajo (tengo que dibujar una interpretación geométrica en un argand'diagrama).

$|z-1| = Re(z+1)$

Yo sé que: Re(z+1) = $Re(x + yi + 1) = x + 1$

Pero ¿cuál es la forma más eficiente para resolverlo?

Lo que yo hice:

$|x + yi - 1| = x + 1$

$\sqrt{(x-1)^2 + y^2} = x + 1$

$(x-1)^2 + y^2 = (x+1)^2$

$x^2 - 2x + 1 + y^2 = x^2 + 2x + 1$

$ - 4x + y^2 = 0$

$y^2 = 4x$

Es la interpretación correcta?

Answer 1

Sí, lo que hizo es correcto.

Otra forma de llegar a esa respuesta es de notar que a $|x+yi−1|$ es la distancia de un punto P de un punto fijo $(1,0)$ y es igual a $Re(z+1)$, que es la distancia perpendicular del punto P de las rectas x=-1.

A partir de la definición de una parábola

La parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de ambas la directriz y el foco

Vemos que en lugar geométrico es una parábola que tiene su foco en (1,0) y la directriz x=-1. Por lo tanto, usted obtiene la necesaria locus como $y^2 = 4x$ ( estándar de la parábola).

Answer 2

Gran trabajo y gran post. Su método es la manera de hacerlo. Mi respuesta es más de una elaboración acerca de la interpretación geométrica de esta parábola. Espero que sea útil.

$$|z-1| = Re(z+1)$$

Podemos leer esto como "la distancia de $z$ $1$ es igual a uno más que la parte real $x$$z$". Por cierto, esto está directamente relacionado con la definición geométrica de la parábola.

Una parábola es el conjunto de todos los puntos que equidistan de un punto (el foco) y una recta (directriz). Deje que la parábola tiene vértice $h+ik$. Ahora defina $c$ a ser la distancia del vértice al foco; a continuación, $c$ también es la distancia perpendicular desde el vértice a la directriz. Si la parábola abre hacia la derecha, el enfoque es $h+c+ik$. A continuación, geométricamente, $$|z-focus|=|z-directrix|$$ $$|z-(h+c+ik)| = |z - (h-c+iy)|$$

$$|z-h-c-ik)| = |z - h+c-iy)|$$

Compare ahora con su parábola. Es vértices en coordenadas rectangulares es $(0,0)$.

$$|z-c| = |z+c-iy|$$

Parece que $c=1$, por lo que su enfoque es $(1,0)$. Del mismo modo, la distancia de la directriz está dada por la parte real de la $z$. La directriz es en sí mismo la línea de $x=-1$. Esta información fue codificada en la ecuación original todo junto!