Grupo infinito tiene infinitamente muchos subgrupos, es decir cíclicos subgrupos.

Question

Si $G$ es un infinito de grupo, a continuación, $G$ tiene infinitamente muchos subgrupos.

Prueba: consideremos el siguiente conjunto: $C=\{\left \langle g \right \rangle: g\in G \}$ - colección de todos los subgrupos cíclicos en $G$ generado por los elementos de a $G$. Dos casos son posibles:

1. Existe una infinidad de distintos subgrupos cíclicos $\Rightarrow$ Hemos terminado.

2. Existe un número finito de distintos subgrupos cíclicos, por ejemplo,$C=\{H_1, H_2,\dots, H_n\}$. A continuación,$G=\bigcup \limits_{i=1}^{n}H_i$. Desde $G$ es infinito, WLOG supongamos que $H_1$ es también infinita, donde $H_1=\left \langle g_1 \right \rangle$. Consideremos el siguiente conjunto de $\{\left \langle g_1^n \right \rangle: n\in \mathbb{N}\}$ - la colección de todos los cíclico sugroups de $H_1\subset G.$ Vamos $K_1=\left \langle g_1 \right \rangle$, $K_2=\left \langle g_1^2 \right \rangle$, $K_3=\left \langle g_1^3 \right \rangle$, $\dots$. Es fácil demostrar que los $K_n$ $K_m$ son distintos por $n\neq m$. De hecho, WLOG tome $n<m$ y teniendo en $g_1^n\in K_n$ pero $g_1^n\notin K_m$ lo contrario $g_1^n=g_1^{ml}$ donde $l\in \mathbb{Z}$ $\Rightarrow$ $g_1^{n-ml}=e$ y desde $H_1$ es infinito $\Rightarrow$ $n=ml$ que es contradiciton desde $m>n$.

Por lo tanto, los subgrupos $K_n$ cualquier $n\in \mathbb{N}$ son cíclicos subgrupos de $H_1$ $\Rightarrow$ cíclico subgrupos de $G$.

Es este razonamiento correcto?

Answer 1

Creo que el contrapositive es mucho más claro:

Si un grupo tiene finito muchos subgrupos, el grupo es finito.

De hecho, que $G$ ser un grupo con finito muchos subgrupos. $G$ Tiene finito muchos subgrupos cíclicos . Un grupo cíclico infinito tiene infinitamente muchos subgrupos. Por lo tanto, todos los subgrupos cíclicos de $G$ son finitos. Por último, $G$ es finita porque es la Unión de sus subgrupos cíclicos, que es una Unión finita de conjuntos finitos.

Answer 2

La prueba dada es correcta, y estoy sugiriendo una alternativa sólo para el bien de estilo/claridad (que es más subjetiva que la corrección).

El punto en el OP de la prueba, donde una detallada argumentación aparece está anidado dentro del análisis de casos (un número finito de frente infinitamente muchos cíclica de los subgrupos). Tirando de ese argumento como un Lema, que sirve tanto para motivar el resultado y para simplificar el argumento principal que sigue:

Lema de Una infinita cíclico grupo tiene infinitamente muchos (cíclica) de los subgrupos.

La prueba: Un infinito cíclico grupo es isomorfo al grupo aditivo $\mathbb Z$. Cada uno de los prime $p\in \mathbb Z$ genera un subgrupo cíclico $p\mathbb Z$, y los distintos números primos dar distintos subgrupos. Así que la infinitud de los números primos implica $\mathbb Z$ tiene infinitamente muchos (distinta) cíclico de los subgrupos. QED

La proposición de Una infinita grupo tiene infinitamente muchos (cíclica) de los subgrupos.

Prueba: Supongamos $G$ ser un infinito de grupo. Cada $g\in G$ pertenecen al menos a un subgrupo cíclico de $G$, es decir,$\langle g \rangle$. (1) Si existen infinidad (distinta) cíclico subgrupos de $G$, entonces hemos terminado.

Así que asumir (2) $G$ tiene sólo un número finito de subgrupos cíclicos $H_1,H_2,\ldots,H_k$. Desde $G$ es infinita, al menos uno de estos $H_i$ debe ser infinito (de lo contrario tenemos un número finito de cobertura de $G$ finita de conjuntos, lo que implica la $G$ es finito). A continuación, el Lema anterior, dice infinito de $H_i$ tiene infinitamente muchos subgrupos cíclicos, lo que implica también que $G$ (desde un subgrupo cíclico de $H_i$ es un subgrupo cíclico de $G$). QED

Asunción (2) en realidad conduce a una contradicción, pero no hemos resaltado que. Algunos autores prefieren la frase de la prueba en esos términos, pero quiero enfatizar el hecho de mantener la estructura de la prueba después de retirar el caso de que $G$ es infinito cíclica como un Lexema.