¿Puede haber sólo una extensión del factorial?

Question

Normalmente, cuando alguien dice algo como $\left(\frac12\right)!$ probablemente se refieran a la función Gamma, que extiende el factorial a cualquier valor de $x$ .

La definición habitual del factorial es $x!=1\times2\times3\times\dots x$ pero para $x\notin\mathbb{N}$ la función Gamma da como resultado $x!=\int_0^\infty t^xe^{-t}dt$ .

Sin embargo, hace un tiempo, alguien mencionó que puede haber más de una forma de definir el factorial para argumentos no enteros, y entonces, quise refutar esa afirmación con algunas suposiciones sobre la función factorial.

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el factorial

1. es un $C^\infty$ función para $x\in\mathbb{C}$ excepto en $\mathbb{Z}_{<0}$ debido a las singularidades, que veremos más adelante.

2. es una función monótona creciente que es cóncava hacia arriba para $x>1$ .

3. satisface la relación $x!=x(x-1)!$

4. y por último $1!=1$

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Desde $3$ y $4$ se puede definir $x!$ para $x\in\mathbb{N}$ y podemos ver que para argumentos enteros negativos, el factorial es indefinido. También podemos ver que $0!=1$ .

Dado que asumimos $2$ deberíamos ser capaces de esbozar el factorial para $x>1$ utilizando nuestros puntos encontrados a partir de $3,4$ como directrices.

Al mismo tiempo, al trazar el gráfico, recordamos $1$ por lo que no puede haber saltos o huecos desde un valor de $x$ a la siguiente.

A continuación, volvemos a aplicar $3$ , corrigiendo los valores para $x\in\mathbb{R}$ ya que todos los valores de $x$ debe satisfacer esta relación.

De nuevo, debido a $1$ debemos corregir nuestro gráfico, ya que al tener $3$ hace que la derivada de $x!$ para $x\in\mathbb N$ indefinido.

Por lo tanto, debido a $1$ y $3$ Me di cuenta de que sólo puede haber una forma de definir el factorial para $x\in\mathbb R$ .

¿Es correcto mi razonamiento? ¿Y puede haber sólo una extensión del factorial?

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Ah, y aquí hay un "enlace a cómo casi diferencié el factorial sólo con algunas suposiciones, como que incluso es posible diferenciar.

Teniendo esto en cuenta, ¿sería posible definir el factorial con el teorema de Taylor?

Answer 1

En primer lugar, para un $c\in\mathbb{C}$ , dejemos que $$F_c(z):=\Gamma(z+1)\cdot\big(1+c\,\sin(2\pi z)\big)$$ para todos $z\in\mathbb{C}\setminus \mathbb{Z}_{<0}$ que define una función analítica $F_c:\mathbb{C}\setminus\mathbb{Z}_{<0}\to\mathbb{C}$ tal que $$F_c(z)=z\cdot F_c(z-1)$$ para todos $z\in\mathbb{C}\setminus\mathbb{Z}_{\leq 0}$ y que $F_c(0)=F_c(1)=1$ (de donde $F_c(n)=n!$ por cada $n\in\mathbb{Z}_{\geq 0}$ ). Excluyendo la singularidad esencial en $\infty$ los enteros negativos son las únicas singularidades de $F_c$ que son polos simples.

Aquí hay algunos resultados que comprobé con Mathematica. Si $c$ es un número real positivo menor que $0.022752$ entonces $F_c'(z)>0$ para todos $z>1$ y $F_c''(z)>0$ para todos $z>-1$ , haciendo que $F_c$ que aumenta monótonamente en $(1,\infty)$ y convexo en $(-1,\infty)$ . También parece que, con $0<c<0.022752$ , $F_c$ es convexo en $(-2n,-2n+1)$ y cóncavo en $(-2n-1,-2n)$ por cada $n=1,2,\ldots$ . (He comprobado esto con varios valores de $c$ y con $n\leq 30$ .) Sería genial si alguien puede encontrar una prueba real. Por lo tanto, me parece que las condiciones 1-4 no dan una función factorial única.

Answer 2

El Teorema de Bohr-Mollerup afirma que la función Gamma es la única función logarítmica-convexa que satisface $\Gamma(1)=1$ y $x\Gamma(x)=\Gamma(x+1)$ . Hay un continuo de funciones que no son log-convexas que satisfacen las otras dos restricciones.

Esta respuesta detalla algunos de sus puntos importantes.