Munkres: Los subconjuntos compactos de Hausdorff espacio

Question

Reclamo:Si $A,B$ son compactos disjuntos subconjuntos del espacio de Hausdorff $X$, entonces existe discontinuo abrir conjuntos de $U,V$ contiene $A,B$ resp.

Iba a estar en el camino correcto en decir que desde $A,B$ son subconjuntos compactos de $X$, a continuación, elija $\{\mathbb{A}_\alpha \}$, $\{\mathbb{B}_ j \}$ para que se abra las cubiertas para $A,B$ resp. Entonces a partir de la $X$ es Hausdorff tenemos que para cada una de las $x$ $\{\mathbb{A}_\alpha \}$ $y \in \{\mathbb{B}_j \}$ existe discontinuo abrir conjuntos de $U,V$.

Ahora bien, si tomamos $U = \cup_{x \in \mathbb{A}_\alpha} U_x$ $V = \cup_{y \in \mathbb{B}_j} V_y$ tenemos nuestra distintos bloques abiertos.

Comentario: sin Embargo, yo no utiliza el hecho de que $A,B$ eran distintos, o que están cerradas, ya que cada subconjunto compacto de un espacio de Hausdorff es cerrado.

Alguien puede darme alguna sugerencia útil? Este es hw, por lo que no quiero y respuesta. Gracias de antemano.

Answer 1

No veo ninguna razón para pensar su $U$ y $V$ son disjuntos. El $U_x$ y $V_y$ (para un par $(x \in A_\alpha, y \in B_j)$ podría intersectar el $V_z$ y $U_w$ para algún otro par $(w \in A_{\beta}, z \in B_k)$.

Sugerencia: empezar por decir que cada $x \in A$ y $y \in B$ allí son conjuntos abiertos disjuntos $U_{x,y}, V_{x,y}$ $x \in U_{x,y}$, $y \in V_{x,y}$. $V_{x,y}$ (Para cualquier dado $x$) forma una cubierta abierta de $B$...