Una pregunta sobre countability de puntos aislados de un subconjunto de R

Question

La pregunta es probar que con respecto a la métrica euclidiana en los números verdaderos demostrar que si A es cualquier subconjunto de R, isoA es contable y por lo tanto, deducir que si A es incontable la A' es incontable.

Todavía no estoy cómodo que con probar cosas como countability así que cualquier respuesta o ayuda se agradece

Gracias

Answer 1

Que $A \subset \mathbb{R}$ y $\text{iso}(A)$ el conjunto de puntos aislados de $A$. Para cualquier $x \in \text{iso}(A)$, existen dos racionales $a<b$ tal que $x \in (a,b)$ y $(a,b) \cap A= \{x\}$. Que $\phi(x)=(a,b) \in \mathbb{Q}^2$.

Entonces es inyectiva $\phi : \text{iso}(A) \to \mathbb{Q}^2$ y $\text{iso}(A)$ es a lo más contable.

Para tu segunda pregunta, escriba $A= \text{iso}(A) \coprod A'$ y utilice el hecho de que la Unión de dos sistemas contables es contable.

Comentario: El axioma de la opción no es necesario construir $\phi$.

Answer 2

Seirios ha dado una multa de respuesta dirigida a sus ejercicios específicos; la mía es sólo comentario adicional que se puede agregar un poco de perspicacia o darle otra forma de pensar acerca de los problemas.

Tenga en cuenta que uno puede demostrar que el segundo resultado sin explícitamente resultando el primero. Supongamos que $A$ es un incontable subconjunto de $\Bbb R$. Deje $\mathscr{B}$ el conjunto de intervalos abiertos con rational extremos; $\Bbb Q$ es contable, por lo $\mathscr{B}$ contables es así. Si $x\in\Bbb R\setminus A'$, hay algunos $B_x\in\mathscr{B}$ tal que $x\in B_x$ y

$$B_x\cap a=\begin{cases} \varnothing,&\text{if }x\notin A\\ \{x\},&\text{if }x\in A\;. \end{casos}$$

(Los casos se pueden combinar en una sola declaración de que $B_x\cap A\subseteq\{x\}$, pero pensé que podría ser más claro para separar las dos posibilidades.)

Deje $\mathscr{B}_0=\{B_x:x\in\Bbb R\setminus A'\}$, y deje $U=\bigcup\mathscr{B}_0$, y vamos a $A_0=A\setminus U$. $\mathscr{B}_0\subseteq\mathscr{B}$, por lo $\mathscr{B}_0$ es contable, y cada uno de los miembros de $\mathscr{B}_0$ contiene más de un punto de $A$, lo $U\cap A$ es contable. Si $A_0$ fueron contables, a continuación, $A=A_0\cup(U\cap A)$ sería la unión de dos conjuntos contables y por lo tanto sería contables, por lo $A_0$ debe ser incontables. Por lo tanto, si podemos demostrar que $A_0\subseteq A'$, se sigue inmediatamente que $A'$ es incontable.

Supongamos que $x\in A_0$. A continuación,$x\notin U$, lo $x\notin B_y$ cualquier $y\in\Bbb R\setminus A'$. En particular, $x\notin\Bbb R\setminus A'$, es decir, $x\in A'$, y está hecho: $A'$ es incontable.

Su primer resultado es oculto en el interior de la prueba: es esencialmente la observación de que $U\cap A$ es contable.

Casi el mismo argumento que en realidad demuestra el siguiente resultado más fuerte:

Deje $A$ ser un incontable subconjunto de $\Bbb R$. A continuación, hay un sinnúmero de $A_0\subseteq A$ que si $x\in A_0$, e $U$ está abierto barrio de $x$, $U\cap A_0$ es incontable (y, por supuesto, a continuación, $U\cap A$ también es incontable). En otras palabras, $A$ tiene una cantidad no numerable de puntos que están muy lejos de ser aislado: la apertura de sus nbhds no sólo han infinito intersección con $A$, pero en realidad tienen innumerables intersección con $A$.

Los detalles están en esta respuesta.