El Rogers-Ramanujan cfrac es,
$$r = r(\tau)= \cfrac{q^{1/5}}{1+\cfrac{q}{1+\cfrac{q^2}{1+\ddots}}}$$
Si $q = \exp(2\pi i \tau)$, entonces se sabe que,
$$\frac{1}{r}-r =\frac{\eta(\tau/5)}{\eta(5\tau)}+1\tag1$$
$$\frac{1}{r^5}-r^5 =\left(\frac{\eta(\tau)}{\eta(5\tau)}\right)^6+11\tag2$$
con el Dedekind eta función, $\eta(\tau)$.
Q: ¿hay una similar de identidad simple conocido el uso de las proporciones de la Jacobi funciones theta $\vartheta_n(0,q)$?
$\color{brown}{Edit}$: En respuesta a un comentario, aquí están algunos detalles. Supongamos que no conocemos $(2)$. Una forma de encontrar este tipo de relaciones es utilizar conocido identidades. Dada la j-función de $j(\tau)$,,
$$j(\tau)=-\frac{(r^{20} - 228r^{15} + 494r^{10} + 228r^5 + 1)^3}{r^5(r^{10} + 11r^5 - 1)^5}\tag3$$
$$j(\tau)=\frac{(5x^2+10x+1)^3}{x^5}\tag4$$
donde $x = \left(\frac{\eta(\tau)}{\sqrt{5}\,\eta(5\tau)}\right)^6$. Equiparar $(3),\,(4)$,
$$-\frac{(r^{20} - 228r^{15} + 494r^{10} + 228r^5 + 1)^3}{r^5(r^{10} + 11r^5 - 1)^5} = \frac{(5x^2+10x+1)^3}{x^5}\tag5$$
y el uso simbólico de software como Mathematica para el factor de $(5)$, nos encontramos con uno de los factores está dada por,
$$\frac{1}{r^5}-r^5 =125x+11\tag6$$
y sólo toma menores ajustes para hacer $(6)$ tienen la forma de $(2)$. Por lo tanto, todo lo que necesitamos es expresar $j(\tau)$ no como una eta cociente $x = \left(\frac{\eta(\tau)}{\sqrt{5}\,\eta(5\tau)}\right)^6$, pero como theta cociente $y=\left(\frac{\vartheta_n(0,q)}{\vartheta_n(0,q^5)}\right)^k$ para algunos de potencia $k$, de modo que,
$$j(\tau) = \frac{f_1(y)}{f_2(y)}\tag7$$
es un cociente de polinomios en $y$. Si $(7)$ es lo suficientemente simple como $(4)$, y si tenemos suerte, a continuación, haciendo lo mismo que $(5)$ podría producir una relación entre el $r$ $y$ que es relativamente estética.
$\color{brown}{P.S.}$ La motivación para esto es que el general quintic es solucionable por el Rogers-Ramanujan cfrac a través de la eta cociente de arriba como se describe en este post.
