Mapa de producto libre $G*G$ $G$

Question

Descargo de responsabilidad: Este vino en trabajar en una tarea problema, pero esta es solo mi curiosidad y en realidad no me ayude a resolver la tarea problema, probablemente.

Deje $G$ ser un grupo, y tomar el producto libre $G*G$. Definir $\phi:G*G \to G$ tomando palabras en $G*G$ y en realidad la reducción de ellos por la multiplicación en $G$. Es este un grupo de homomorphism? Hay un nombre canónico para este homomorphism?

Ambos de los siguientes discutir cuestiones relacionadas, pero no creo que cualquiera se describe exactamente mi pregunta.

producto libre del mismo grupo

Finitely libres generados por el grupo es un cogroup objeto en la categoría de grupos

Answer 1

El producto libre es el subproducto en la categoría de grupos, por lo que tiene la siguiente característica universal:

Si $G_1$ $G_2$ son los grupos, y $\phi_1:G_1\to H$ $\phi_2:G_2\to H$ son del grupo de homomorphisms, entonces existe un único homomorphism $$\phi_1\ast\phi_2:G_1\ast G_2\to H$$ tal que $(\phi_1\ast\phi_2)\circ i_j= \phi_j$$j=1,2$, donde $$i_1:G_1\to G_1\ast G_2\quad\text{and}\quad i_2:G_2\to G_1\ast G_2$$ son las inclusiones obvio.

Como un ejemplo, si $a_1b_2a_2b_1\in G_1\ast G_2$,$a_i,b_i\in G_i$, luego $$(\phi_1\ast\phi_2)(a_1b_2b_1a_2) = \phi_1(a_1)\phi_2(b_2)\phi_1(b_1)\phi_2(a_2) = (\phi_1\ast\phi_2)(a_1b_2)\cdot (\phi_1\ast\phi_2)(b_1a_2)$$ Su caso es $\phi_1=\phi_2=id_G:G\to G$.

En general, para cualquier categoría de $\mathcal{C}$ con subproducto $\amalg$, hay un "mapa plegado" para todos los objetos de $X$: $$id_X\amalg id_X:X\amalg X\to X$$ inducida por el mapa de identidad $id_X:X\to X$.