Considere $AX + XA = B$ ¿Cuántas ecuaciones y cuántas incógnitas?

Question

Aquí, $A$ , $X$ y $B$ son reales $n\times n$ matrices. A y B están dados, pero X es desconocido.

Además, A es simétrica y definida positiva, por lo que $A^T = A$ y $z^TAz >0$ para todo lo que no sea cero $z$ en $\mathbb R^n$ .

Mi pregunta es: puedo demostrar fácilmente que $AX + XA$ es lineal en $x$ .

pero... ¿cuántas ecuaciones e incógnitas implica?

Escribí un poco de trabajo en scratch y estoy de acuerdo con la solución que implica $n^2$ incógnitas. Sin embargo, la solución también dice que implica $n^2$ ecuaciones. Estoy bastante seguro de que eso está mal, y que sólo hay $n$ ecuaciones implicadas.

Gracias,

Editar:

¿Cómo puedo demostrar que F(x) = AX + XA es una biyección? Me parece que debería utilizar lo que se da en la pregunta: que A es simétrico real, definido positivo, por lo que A tiene valores propios reales y positivos. Además, A es diagonalizable - ortogonalmente diagonalizable, de hecho - por lo que tiene n vectores propios que forman una base para R^n. No estoy seguro de cómo proceder para demostrar la biyección...

Answer 1

Dos matrices son iguales si y sólo si sus elementos correspondientes son iguales. Por tanto, la ecuación matricial $AX + XA = B$ produce $n^2$ ecuaciones, una para cada entrada de las dos $n \times n$ matrices $AX + XA$ y $B$ .

Answer 2

El $n^2$ valores propios de la aplicación lineal $F:X\in M_n(\mathbb{R})\rightarrow AX+XA\in M_n(\mathbb{R})$ son los $(\lambda_i+\lambda_j)_{i,j}$ donde $spectrum(A)=(\lambda_i)_i$ . Desde $A$ es simétrico $>0$ , $F$ es una biyección.

Además, se puede escribir la ecuación en esta forma estable: $-AX-XA=-B$ y la solución única es $X=\int_0^{+\infty}e^{-tA}Be^{-tA}dt$ .

EDIT .(respuesta a Lebron James). 1 $M_n(\mathbb{R})$ tiene dimensión $n^2$ Entonces $f$ tiene $n^2$ valores propios. Podemos suponer que $A=diag((\lambda_i)_i)$ . $f$ admite la $n^2$ elementos $(E_{i,j})_{i,j}$ de la base canónica de $M_n(\mathbb{R})$ como vectores propios ( $f(E_{i,j})=(\lambda_i+\lambda_j)E_{i,j})$ . Desde el $(\lambda_i)_i$ son $>0$ , $f$ tiene valores propios positivos y es una biyección y $AX+XA=B$ tiene una única solución $X_0$ .

2. $X_1=\int_0^{+\infty}e^{-tA}Be^{-tA}dt$ existe porque $||e^{-tA}Be^{-tA}||=O(e^{-2\lambda t})$ donde $\lambda$ es un valor propio mínimo de $A$ (la matriz $-A$ da la estabilidad hasta el infinito). Si $Y=e^{-tA}Be^{-tA}$ entonces $Y'=-AY-YA$ y, después de la integración, $-B=-AX_1-X_1A$ , lo que implica $X_1=X_0$ .