Vamos más generalmente se fijan en los números de tal manera que
$$a_{n+1} a_1 a_2 \dotsc a_n = m\cdot a_1 a_2 \dotsc a_n a_{n+1}$$
para algunos $m > 1$. Escrito $A = a_1 a_2 \dotsc a_n$, esto se convierte en
$$10^n\cdot a_{n+1} + A = m\cdot (10A + a_{n+1}),$$
que nos reorganizar a
$$(10^n - m)a_{n+1} = (10m - 1)A.$$
Ahora podemos ver los posibles multiplicadores $m$ en turno.
Para $m = 2$, el factor de $10m - 1$ en el de la derecha es un número primo, así que debemos tener $10^n \equiv 2 \pmod{19}$, el cual tiene si y sólo si $n \equiv 17 \pmod{18}$. Esto le da a las soluciones
$$A = \frac{10^{18k+17}-2}{19}\cdot a_{n+1}.$$
Para $a_{n+1} = 1$ que produce la $a_1 = 0$, lo que puede ser considerada inválida. Para $2 \leqslant a_{n+1} \leqslant 9$, $A$ es un verdadero $18k+17$-número de dígitos, y para $a_{n+1} = 2$, se produce un número de la forma que usted busca, con $m = a_{n+1}$.
Para $m = 3$, también tenemos $10m-1$ prime, y tenemos la necesidad de $10^n \equiv 3 \pmod{29}$, lo que significa que $n \equiv 27 \pmod{28}$. Tenemos las soluciones
$$A = \frac{10^{28k+27}-3}{29}a_{n+1}$$
que para $a_{n+1} < 3$ nuevo producir posiblemente no válido $a_1 = 0$, y para $a_{n+1} = 3$ da un número de la forma deseada.
Para $m = 4$, el factor de $10m-1$ no es primo, $39 = 3\cdot 13$, pero desde $10^n - 4 \equiv 0 \pmod{3}$ todos los $n$, de nuevo debe tener $10^n \equiv 4 \pmod{39}$, lo que equivale a $n \equiv 5 \pmod{12}$. Esto le da a las soluciones
$$A = \frac{10^{12k+5}-4}{39}a_{n+1}.$$
Una vez más, hemos de obtener los ceros a la izquierda para $a_{n+1} < m$, y para $a_{n+1}$ obtenemos los números de la forma deseada (en el ejemplo de $k = 0$).
Para$m = 5$,$10m-1 = 49 = 7^2$, y se obtienen dos familias de soluciones, una con $a_{n+1} = 7$$10^n \equiv 5 \pmod{7}$, lo que significa que $n \equiv 5 \pmod{6}$, y uno con la arbitraria $a_{n+1}$$10^n \equiv 5 \pmod{49}$, lo que significa que $n \equiv 41 \pmod{42}$. Esto le da
$$A = \frac{10^{6k+5}-5}{7},\; a_{n+1} = 7\quad\text{and}\quad A = \frac{10^{42k+41}-5}{49}a_{n+1}.$$
Como de costumbre, tenemos los ceros a la izquierda para $a_{n+1} < 5$.
Para $m = 6$, de nuevo $10m-1$ es primo, y obtenemos
$$A = \frac{10^{58k+57}-6}{59}a_{n+1}.$$
Para$m = 7$, $69 = 3\cdot 23$ y de nuevo $10^{n} - 7 \equiv 0 \pmod{3}$ todos los $n$, que da las soluciones
$$A = \frac{10^{22k+21}-7}{69}a_{n+1},$$
con la habitual advertencia acerca de los ceros a la izquierda para $a_{n+1} < 7$.
Para $m = 8$, el factor de $10m-1$ es de nuevo la primera, y obtenemos las soluciones
$$A = \frac{10^{13k+12}-8}{79}a_{n+1}.$$
Para $m = 9$, las soluciones son
$$A = \frac{10^{44k+43}-9}{89}a_{n+1}.$$
