Muestran que

Question

Que $V=P_2(\mathbb{R}), T\in \mathcal{L}(P_2(\mathbb{R})),$ donde $T(p)=(a_1x)$. Hacer $V$ un espacio de producto interno mediante la definición de $$\langle p,q\rangle=\int_0^1{p(x)q(x)\,dx}$ $ para calcular $$\langle T(p),q\rangle=\int_0^1{(a_1b_0x+a_1b_1x^2+a_1b_2x^3)\,dx}$ $ pero ahora tengo que $(a_1b_0x+a_1b_1x^2+a_1b_2x^3)=p(x)T^*q(x)=(a_0+a_1x+a_2x^2)T^*q(x)$. Esto me dará $T^*$, y luego sólo tengo que demostrar que $T\neq{T^*}$

Pero no puedo $T^*$ de esta manera, o si puedo no lo veo.

Answer 1

El seguimiento de mi primer comentario anterior, tratando de hacer dos integrands igual (para todos los $x$) es un overconstrained problema. Si pudiera, sí, ese sería un camino fácil para encontrar el adjunto, pero este acceso directo no está disponible aquí.

Usted tiene que $\langle Tp, q\rangle = \tfrac12 a_1 b_0 + \tfrac13 a_1 b_1 + \tfrac14 a_1 b_2$. Lo $T^*\!q$ es decir, debe satisfacer $\langle p,T^*\!q\rangle = \tfrac12 a_1 b_0 + \tfrac13 a_1 b_1 + \tfrac14 a_1 b_2$. En particular:

$$\langle 1, T^*\!q \rangle = \langle x^2, T^*\!q \rangle = 0,\quad \langle x, T^*\!q\rangle = \tfrac12 b_0 + \tfrac13 b_1 + \tfrac14 b_2.$$

Las dos primeras restricciones implican que para cualquier $q\in V$, $T^*\!q$ es una magnitud escalar múltiples del polinomio $3 - 16x + 15x^2$ (esto no es inmediatamente obvio, pero se puede calcular por qué?). Calcular el comportamiento de $T^*\!$, asciende a ver cómo la constante delante de $(3-16x+15x^2)$ depende de $b_0$, $b_1$ y $b_2$.

Hasta cierto punto, los cálculos en este problema mirada más compleja, ya que la base natural de $\{1,x,x^2\}$ no es ortogonal con respecto a la elegida interior del producto $\int_0^1$.