¿Por qué necesitamos la continuidad de una derivada parcial para diferenciar bajo una integral?

Question

Esencialmente necesito demostrar la regla de Leibniz para la diferenciación bajo una integral: dada una función continua $f(x,y)$ y un parcial continuo $\frac{\partial f}{\partial y}$ demostrar que si $G(y) = \int_a^b f(t,y) \, dt$ entonces $G'(y) = \int_a^b \frac{\partial f}{\partial y}(t,y) dt$ .

Hay muchas pruebas para esto en Internet, pero no puedo entender por qué requieren que la derivada parcial sea continua. Por lo que veo, tengo que demostrar que

$$\lim_{h \to 0} \frac{G(y+h)-G(y)}{h} = \lim_{h \to 0} \int_a^b \frac{f(t,y+h)-f(t,y)}{h} dt = \int_a^b \frac{\partial f}{\partial y}(t,y) dt$$ que, utilizando la definición épsilon-delta del límite, significa que quiero demostrar que para cualquier $\epsilon$ Puedo encontrar un $\delta > 0$ de tal manera que mientras $h < \delta$ $$\left| \int_a^b \frac{f(t,y+h)-f(t,y)}{h} - \frac{\partial f}{\partial y}(t,y) dt \right| < \epsilon$$ En este punto, la mayoría de las pruebas que he visto recurren al Teorema del Valor Medio, y entonces hacen uso de la hipótesis de continuidad, pero ¿la existencia de $\frac{\partial f}{\partial y}$ significa que $$\lim_{h \to 0} \frac{f(t,y+h)-f(t,y)}{h} = \frac{\partial f}{\partial y}$$ lo que significa que es relativamente fácil seleccionar un $\delta$ sin tener que recurrir a la continuidad? ¡¡Perdonen si ha sido demasiado prolijo, y gracias por cualquier ayuda!!

Answer 1

En general, no se puede intercambiar el límite y la integral. Es decir, en general $$ \lim_{h \to 0} \frac{f(t,y+h)-f(t,y)}{h} = \frac{\partial f}{\partial y},\quad a\le t\le b,\tag1 $$ no implica $$ \lim_{h \to 0} \int_a^b\frac{f(t,y+h)-f(t,y)}{h}\,dt=\int_a^b \frac{\partial f}{\partial y}\,dt.\tag2 $$ Cuando elijas $\delta$ en (1), dependerá de $t$ .