Me sorprende que nadie ha sido un tirón a usted acerca de la lista 1 y 39 con el aprovechamiento racional de los números primos. Debe ser algo de la civilidad en señalar hechos básicos como eso. La inclusión de 39 debe haber sido un simple deslizamiento del dedo.
Pero el punto que aún necesita ser hecho de que 1 es no un número primo, es una unidad. En un imaginario cuadrática anillo como $\mathbb{Z}[i]$ si $u$ es una unidad, entonces la $N(nu) = N(u)$. Las unidades en $\mathbb{Z}[i]$$1, -1, i, -i$. Estos son los no primos. Así que nuestra lista de potenciales de Gauss primos con parte real, pero sin parte imaginaria es por lo tanto:
$2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47$
Su definición de "Gaussiana " prime" es en el mejor de los confusos y, en el peor impreciso. Déjame darte un par de definiciones que se pueden llevar a otros cuadrática entero de los anillos:
- En $\mathbb{Z}[\sqrt{d}]$, la norma de la función es $N(a + b\sqrt{d}) = a^2 - db^2$. (Si $d = -1$, esto funciona a $a^2 + b^2$). También, la norma de la función es completamente multiplicativa, es decir, que $N(mn) = N(m)N(n)$.
- Un número $p = a + b\sqrt{d}$ es irreducible si para cada posible forma de expresar como $p = \alpha \beta$ ($\alpha$$\beta$cifras en $\mathbb{Z}[\sqrt{d}]$ resulta que ya sea cualquiera de las $\alpha$ o $\beta$ es una unidad (pero no ambos).
- Si $\mathbb{Z}[\sqrt{d}]$ es una única factorización de dominio (como $\mathbb{Z}[i]$ es), entonces todos los irreducibles en que el dominio son los números primos.
Por lo tanto, estamos mirando a ver cual de los números de la lista de los posibles números primos son de hecho irreductible en el dominio de los enteros de Gauss y por lo tanto son primos de Gauss. La norma de la función en $\mathbb{Z}[i]$$N = a^2 + b^2$. Esto significa que estamos esencialmente en busca de números primos que no puede ser expresado como una suma de dos cuadrados.
Yo no soy historiador, no sé si Fermat demostró este mismo, pero es atribuido a el teorema de Fermat que si $p = a^2 + b^2$, entonces cualquiera de las $p = 2$ o $p \equiv 1 \pmod 4$. Entonces todo lo que tenemos que hacer es la huelga 2 y los primos de la forma $4k + 1$ de descuento en nuestra lista de Gauss de los números primos:
$3, 7, 11, 19, 23, 31, 43, 47$
Si todavía tienes dudas de que esto es correcto, usted puede poner esta secuencia en la OEIS como una búsqueda. Usted debe obtener Sloane del A002145 como resultado, que incluye el comentario Natural primes which are also Gaussian primes.
Yo no voy a entrar en su caso, acerca de la supuesta inutilidad de pedir los números primos $p < 50$; en lugar de eso voy a asumir que usted quería preguntar por los números primos $p$ tal que $N(p) < 50$. Si usted pone su brújula centro en 0 en el plano complejo y su compás lápiz a los 50, a continuación, dibuje el círculo, básicamente estás pidiendo todos los números primos dentro de ese círculo. Nuestra lista de los números primos es bastante incompleta en este punto.
Pero podemos fácilmente cuádruple que la lista con una simple multiplicación por unidades. Es decir,
$-3, -7, -11, -19, -23, -31, -43, -47$
$3i, 7i, 11i, 19i, 23i, 31i, 43i, 47i$
$-3i, -7i, -11i, -19i, -23i, -31i, -43i, -47i$
son todos los primos de Gauss! Pero todavía nos falta el de los números primos que tienen tanto una real y una parte imaginaria.
Espero que no se ha olvidado de los naturales de los números primos que son de Gauss compuestos. Si un natural prime $p = 2$ o $p \equiv 1 \pmod 4$, puede ser expresado como $p = (a - bi)(a + bi)$, lo $p$ es no una Gaussiana principales, pero tanto $a - bi$ $a + bi$ son primos de Gauss (esto es, probablemente, un teorema, lema o corolario en su libro así que no voy a dar una prueba). Por lo tanto, ahora estamos buscando los enteros de Gauss con parte real distinto de cero $a$ y un valor distinto de cero parte imaginaria $bi$, de modo que $a^2 + b^2 = p$, un natural de primer. Ya que sólo hay uno incluso natural prime (2), en casi todos los casos $a$ tiene que ser impar y $b$ o, incluso, la vice-versa, y en sólo cuatro casos puede tanto $a$ $b$ ser impar.
Nos limitamos a $0 < a < 50$$0 < b < 50$, podemos obtener esta lista:
$1 + i$, $2 + i$, $3 + 2i$, $4 + i$, $5 + 2i$, $5 + 4i$, $6 + i$
Ahora una simple multiplicación por unidades le dará las otras tres listas necesarias para completar la lista completa de los primos de Gauss con la norma de menos de 50.
Para revisar: si $p$ es una Gaussiana primer y $\Re(p) = 0$ o $\Im(p) = 0$ , $N(p)$ es un cuadrado perfecto. Pero si $\Re(p) \neq 0$ e $\Im(p) \neq 0$ , $N(p)$ natural prime.
Yo creo saber lo que usted entiende por "racional prime" y hay algunos autores que la utilizan para significar la misma cosa; me parece que el término problemático para $\mathbb{Z}[i]$ pero que otra lata de gusanos.
