Resolver $e^{z-1}=z$ $|z| \leq 1$

Question

Estoy en busca de soluciones a la $$e^{z-1}=z$$ when $z # \in \mathbb{C}$ with $|z| \leq 1$.

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La solución obvia es $z=1$, pero no sé cómo demostrar que no cualquier otro.

Esta pregunta se relaciona con éste.

Answer 1

Basta con mirar las partes imaginarias de cada uno. Que $z = a + bi$.

$\mathrm{Im}(e^{z-1}) = e^{a-1} \mathrm{sin}(b)$

$\mathrm{Im}(z) = b$

$a < 1$ Y $b \neq 0$ tenemos $|e^{a-1} \mathrm{sin}(b)| < |\mathrm{sin}(b)| < |b|$. Así $\mathrm{Im}(z) \neq 0$ tenemos $\mathrm{Im}(e^{z-1}-z) \neq 0$.

Así reduce al caso real, que se ha discutido otro cartel.