Esta es una pregunta de Stromberg relacionados con Steinhaus Teorema:
Si $A$ es un conjunto de positivo de la medida de Lebesgue, muestran que $A + A$ contiene un intervalo.
No acabo de ver cómo modificar el Steinhaus prueba, aunque.
Respuestas
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No sé qué prueba de Steinhaus teorema se utiliza, pero podemos demostrar el siguiente resultado:
Si $A$ $B$ tiene un positivo de la medida de Lebesgue, entonces $A+B$ contiene un intervalo.
Podemos suponer que $A$ $B$ tiene medida finita. De hecho, si $\lambda(A)$ es infinito, $A=\bigcup_{n\in\mathbb N}A\cap\left[-n,n\right]$ y sólo tenemos que recoger $n_0$ tal que $\lambda(A\cap \left[-n_0,n_0\right])>0$. Si $n_1$ es tal que $\lambda(B\cap \left[-n_1,n_1\right])>0$, y hemos demostrado el resultado de $A$ $B$ finito de medida $A+B\supset (A\cap \left[-n_0,n_0\right])+(B\cap \left[-n_1,n_1\right])\supset I$ y hemos terminado.
Gracias a el hecho de que el indicador de funciones en $L^2$ y la densidad de las funciones continuas con soporte compacto en $L^2(\mathbb R)$ $$f\colon x\mapsto \mathbf{1}_A*\mathbf{1}_B(x)=\int_{\mathbb R}\mathbf{1}_A(x-t)\mathbf {1}_B(t)d\lambda(t)$$ es continua . Por lo tanto el conjunto de $O:=\left\{x\in\mathbb R,f(x)>0\right\}$ está abierto. Desde $\int_{\mathbb R}f(x)d\lambda(x)=\lambda(A)\cdot\lambda(B)>0$, $O$ no está vacía y por lo tanto contiene un abierto no vacío intervalo de $I$. Si $x\notin A+B$, $A\cap(-B+x)=\emptyset$. De hecho, si $y\in A\cap(-B+x)$ $y=a$ algunos $a\in A$, e $y=-b+x$ algunos $b\in B$, por lo tanto $x=a+b$. Así que si $x\notin A+B$, $f(x)=0$, y tomando el complemento, si $f(x)\neq 0$$x\in A+B$, por lo tanto tenemos $$I\subset O\subset A+B.$$
Mike
Puntos
11
Una prueba usando la métrica de la densidad se describe en el Ejercicio 5 del Capítulo 7 (Diferenciación) de Rudin del Real y el Análisis Complejo, 3ª edición. Os presento mi versión.
Podemos generalizar, posiblemente, de distintos conjuntos de $A$ $B$ de medida positiva. El conjunto $A$ tiene un punto de $a$ de la métrica de la densidad de donde
$$m(A\cap (a-\delta, a +\delta ))/2\delta > 3/4,$$
y esto es suficiente para demostrar la proposición con $A$ es reemplazado por esta intersección. Del mismo modo, podemos reemplazar $B$ por algún conjunto concentran en una longitud de $2\delta$ intervalo de cerca de un punto de $b$.
Deje $a_0=a+b \in A+B$. El punto es que para lo suficientemente pequeño $\epsilon$ (positivo o negativo!), $a_0 +\epsilon \in A+B$. Si no, entonces $a_0+\epsilon -B$ no se cruzan $A$. Pero $A$ $a_0+\epsilon -B$ ambos se encuentran en el intervalo de
$$(a_0-(\delta+\epsilon), a_0 + (\delta +\epsilon)),$$
el cual tiene una medida de $2(\delta+\epsilon)$. Junto a $A$ $a_0+\epsilon -B$ tienen medida $3\delta$, por lo que debe intersectar para las pequeñas $\epsilon$.
