Estoy tratando de entender por qué el conjunto de discontinuidades de una función creciente $f: \mathbb R \to \mathbb R$ debe ser finito o contable. Demostré que tal función sólo puede tener discontinuidades de salto. No me queda claro por qué las discontinuidades no pueden ser incontables y tampoco me queda claro para dada $f$ cómo encontrar una biyección entre discontinuidades de $f$ y un subconjunto de $\mathbb Q$ . Por favor, ¿alguien puede explicarme por qué debería ser cierto?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
rschwieb
Puntos
60669
En cada salto, dibuja un intervalo abierto en el $y$ -eje que se sitúa entre la parte inferior del salto y la parte superior del mismo.
Una vez que haya terminado, tendrá una cadena de intervalos disjuntos en el $y$ -eje (porque la función es creciente).
Ahora elige un número racional en cada uno de estos intervalos. Esto nos da una biyección entre los intervalos y un subconjunto de $\Bbb Q$ .
La idea principal es que existe un límite para el tamaño de una colección disjunta de conjuntos abiertos en $\Bbb R$ puede ser. La idea generalizada es la del Número de Souslin de un espacio topológico. En pocas palabras, es "la mayor cardinalidad de un conjunto de conjuntos abiertos disjuntos".
Puedes ver que el mismo argumento funciona con $\Bbb R$ sustituido por cualquier separable espacio topológico ordenado linealmente.
