Hoy en clase que el profesor dijo si consideramos $X = [0, 1]$ con la medida de Lebesgue, entonces el conjunto de los polinomios algebraicos no es denso en $L^\infty([0, 1])$. Pero yo no podía llegar a un contraejemplo para convencerme.
¿Podría alguien subir con una?
Polinomios son continuos. Es un teorema de análisis real que el límite uniforme de funciones continuas es continuo. Como consecuencia, el cierre de la $\sup$-norma de la álgebra de polinomios está contenido en el conjunto de funciones continuas.
Por lo tanto, cualquier función acotada $f$ que no es continua debe convencer que $f$ no es el límite uniforme de polinomios.
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