¿$\operatorname{sinc} x$, Es sólo una?

Question

No sé si esta es una pregunta muy simple con una respuesta muy difícil, pero:

$y = \dfrac{\sin x}{x}$ Función es la única que

$$\int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx =\int_{-\infty}^{\infty} f^2(x) dx \text{ ?}$$

Es decir, si partimos de la ecuación integral

$$\int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx =\int_{-\infty}^{\infty} f^2(x) dx \text{ ?}$$

¿sólo encontramos $f(x) = \dfrac{\sin x}{x}$, o podemos esperar otras soluciones?

Tal vez debo han dejado esto claro, pero estoy hablando de $f(x) \neq 0$ y $f(x)$ continua en $\mathbb{R}$.

Answer 1

Tomar cualquier $f$ donde existen ambas integrales. Definir $$ A = \int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx, $ $ después $ de $$ B = \int_{-\infty}^{\infty} f^2(x) dx. $ ahora, definir $$ g(x) = \frac{A}{B} \; f(x). $ $ después $ de $$ \int_{-\infty}^{\infty} g(x) dx = \int_{-\infty}^{\infty} g^2(x) dx = \frac{A^2}{B}. $

Answer 2

Tenga en cuenta $$ \int_{-\infty}^\infty\frac{1}{1+x^2}\mathrm{d}x=\pi $$ y $$ \int_{-\infty}^\infty\frac{1} {(1 + x ^ 2) ^ 2} \mathrm {d} x = \frac {\pi} {2} $$ Sin embargo, si esto escalar, tenemos $$ \int_{-\infty}^\infty\frac{2}{1+x^2}\mathrm{d}x=2\pi $$ y $$ \int_{-\infty}^\infty\frac{4} {(1 + x ^ 2) ^ 2} \mathrm {d} x = 2\pi $$ Esto se puede hacer para cualquier función así que $f$ y $f^2$ son integrables y $\int_{-\infty}^\infty f(x)\:\mathrm{d}x\not=0$.

Answer 3

No por mucho.

De hecho, tomar cualquier negativo % continua $g$tal que $\int g^2 > \int g$. Seleccione algunos $x_0$ tal que $0<g(x_0)<1$ y examinar la funciones $$ f_a(x) = \begin{cases}g(x) & x\in(-\infty,x_0] \\ g(x_0) & x\in(x_0,x_0+a] \\ g(x-a) & x \in (x_0+a,\infty) \end{cases}$ $ % los $a>0$. Medida que aumenta el $a$, tanto de $\int f_a^2$ y $\int f_a$ aumentarán en proporción al $a$ y $\int f_a$ aumentará más rápido por un factor de $1/g(x_0)$. Desde $f_0=g$, en un $a$ encontrará $\int f_a^2=\int f_a$.

Como alternativa, tomar el mismo $g$ y no $b=\frac{\int g}{\int g^2}$ $f(x)=bg(x)$ también satisfará $\int f=\int f^2$.