Por el título de esta pregunta, cómo uno va sobre cálculo de %#% $ #%
¡Gracias!
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Por un mecánico* forma de hacerlo:
Sugerencia:
$$\log \frac{(3k-1)}{k+2} = \log 3 + \log (1- \frac{1}{3k}) - \log (1 + \frac{2}{k})$$
y
$$\log (1-x) = -x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} - \dots $$
para $|x| \lt 1$.
Más detalles:
Utilizando la anterior sugerencia, el $k^{th}$ plazo es $$ n \log \frac{(3k-1)}{k+2} = n \log 3 + \frac{5n}{3k} + \mathcal{O}(\frac{n}{k^2})$$
y por lo que su suma es
$$ \frac{1}{n^2} \sum_{k=1}^{n} (n \log 3 + \frac{5n}{3k} + \mathcal{O}(\frac{n}{k^2}))$$
$$ = \frac{1}{n^2}(n^2\log 3 + \frac{5n\log n}{3} + \mathcal{O}(n))$$
Aquí hemos utilizado la estimación de $\displaystyle \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} = \log n + \mathcal{O}(1)$ $\displaystyle \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k^2} = \mathcal{O}(1)$
Por lo tanto la suma es $$ = \log 3 + \frac{5\log n}{3n} + \mathcal{O}(\frac{1}{n})$$
y por lo que su límite es $$\log 3$$
Tenga en cuenta que realmente no necesitamos la estimación de $\displaystyle \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} = \log n + \mathcal{O}(1)$
Todo lo que tenemos que mostrar es que el $\displaystyle \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} = o(n)$ y esto fácilmente se sigue de la siguiente clásico teorema:
Si $\displaystyle a_n \to 0$, $\displaystyle \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} a_k \to 0$
*Como Didier puntos (ver comentario abajo), este último teorema puede ser usado para pasar toda la mecánica de los cálculos realizados anteriormente al aplicarlo directamente a los términos de la secuencia.
