Es $2^\alpha=2^\beta\Rightarrow \alpha=\beta$ a $\sf ZFC$ -¿resultado de la independencia?

Question

Hace poco, en una clase, uno de mis profesores estaba demostrando algo relacionado con el tamaño de la base o algo así (no lo recuerdo exactamente) y en algún momento cerca del final de la demostración nos encontramos con lo siguiente:

$2^\alpha=2^\beta\Rightarrow \alpha=\beta$

Ahora esto estaba en una prueba sobre cosas finitas (o posiblemente contables) así que todo está bien aquí pero esto me sonó a un resultado que puede ser independiente de ZFC o algo que no pude recordar. He mirado pero no he encontrado nada al respecto.

Gracias por la ayuda

Answer 1

Sí, esto es muy independiente de los axiomas de $\sf ZFC$ . Es una consecuencia de $\sf GCH$ pero no es equivalente.

Es posible tener $2^{\aleph_0}=2^{\aleph_1}$ .

Por otro lado, podemos tener que para la finita $n$ , $2^{\aleph_n}=\aleph_{n+3}$ y por otra parte $2^{\aleph_\alpha}=\aleph_{\alpha+1}$ . En ese caso, claramente $2^\kappa=2^\lambda\implies\kappa=\lambda$ pero $\sf GCH$ no lo hace.