¿Si $p\in R[X_1,\dots,X_n]$ es irreducible, es todavía irreducible en $R[X_1,\dots,X_n,\dots,X_N]$?

Question

Es un hecho conocido que si $R$ es un disco flash usb, a continuación, $R[X_1,X_2,\dots]$ es también una UFD, pero no es una sutileza que me hace incómodo.

El enfoque estándar esencialmente va algo a lo largo de las líneas de...vamos a $f$ ser un polinomio, por lo que sólo consiste en un número finito de variables, dicen que hasta a $X_1,\dots,X_n$. Entonces a partir de la $R[X_1,\dots,X_n]$ es un UFD, $f$ tiene una factorización en irreducibles. A continuación, $f$ no tiene una factorización involucran indeterminates $X_N$ no $R[X_1,\dots,X_n]$. Si lo hizo, entonces $f$ tendría dos factorizations en la UFD $R[X_1,\dots,X_n,\dots, X_N]$, una contradicción.

Esto parece suponer que la factorización prima en $R[X_1,\dots,X_n]$ es todavía una factorización prima en $R[X_1,\dots,X_n,\dots,X_N]$. Pero, ¿cómo puede usted ver que irreducibles en $R[X_1,\dots,X_n]$ todavía son irreducibles en $R[X_1,\dots,X_m]$$m>n$? Esto no parece evidente.

Deje $R_k=R[X_1,\dots,X_k]$. El explanantion que he encontrado es esto: Supongamos $p\in R[X_1,\dots,X_n]$ es irreducible en a $R_n$. Supongamos $p=ab$$a,b\in R_m$. La evaluación de $X_1,\dots,X_n$$1$, se obtiene $$ \bar{p}=\overline{ab}\in R[X_{n+1},\dots,X_m] $$ Pero $\bar{p}\in R$, lo que implica que $a$ $b$ no implican ninguna de las variables $X_{n+1},\dots,X_m$. Por lo $a,b\in R_n$, y por lo tanto uno es una unidad, por lo tanto, una unidad en $R_m$.

La parte que no siga es cómo la evaluación en $1$, implica $a$ $b$ no tiene indeterminates otros de $X_1,\dots,X_n$. No es posible que algunos de los mayores indexado indeterminates desaparecer cuando evaluar? Supongamos por ejemplo,$p\in R_1$, e $a\in R_2$$a=-X_1X_2+X_2$. Luego de evaluar a $1$ da $\bar{a}=0$, por lo que no podemos obtener el deseado contradicción ya que el $\overline{ab}=0\in R$?

Answer 1

Que idea clave es que cada una de las sucesivas polinomio anillo de extensión de $\,D\subset D[x]\,$ es la factorización de la inerte, es decir, el anillo de extensión introduce ningún nuevo factorizations, es decir, si $\, 0\ne d\ \in D\,$ factores $\,D[x]\,$ $\,d = ab\,$ $\, a,b\in D[x]\,$ $\,a,b\in D.\,$ a partir De esto se deduce que el requisito de la factorización de propiedades se extienden a $\,R[x_1,x_2,\cdots\,].\,$ Las mismas ideas de trabajo para arbitrario inerte extensiones.

Comentario $\ $ Pablo Cohn, introdujo la idea de inertes extensiones cuando el estudio de los anillos de Bezout. Cohn demostró que cada mcd de dominio puede ser inertes con todo incrustado en un Bezout de dominio, y cada UFD puede ser inertes con todo incorporado en un PID. Hay un par de variaciones en la noción de inercia que son útiles a la hora de estudiar la relación entre factorizations en la base y anillos de extensión, por ejemplo, una forma más débil donde $\, d = ab\,\Rightarrow\, au, b/u\in D,\,$ para algunos de una unidad de $\,u\,$ en el anillo de extensión.

Answer 2

Que $A = R[X_1,\ldots, X_n]$ y $B = R[X_1,\ldots, X_n, \ldots ,X_N]$. Escriba $B = A[Y_1,\ldots,Y_k]$ para facilitar la notación.

Ahora $B / pB \cong (A/pA)[Y_1,\ldots, Y_k]$. Puesto que es irreductible en la UFD $p$ $A$, $pA$ es un ideal primo. Así $A/ pA$ es un dominio integral. Así $B / pB$ también es un dominio integral. Así que es irreducible en $p$ $B$.