La aproximación de $100!$

Question

He participado en la Estimathon (una competencia de la velocidad de Fermi problemas) no hace mucho tiempo. Funciona de la siguiente manera. Los concursantes son dadas a las preguntas y debe dar un cerrado rango de $[a,b]$ el cual debe contener la respuesta correcta. Las pautas de puntuación son tales que usted desea reducir al mínimo su "número de puntos", donde los puntos depende de $\left\lfloor\frac{b}{a}\right\rfloor$. Si el intervalo no contiene la respuesta correcta, el número de puntos dobles de lo que es malo. Así que la prioridad es asegurarse de que su rango contiene la respuesta correcta. Después de eso, es importante asegurarse de que su rango no es demasiado grande.

Una de las preguntas era:

Estimación de $100!$.

Yo era la única persona de entre 40 personas para obtener la información correcta, ya que yo había memorizado $100! \approx 9.33 \times 10^{157} $, por lo que acabo de poner $\left[9 \times 10^{157}, 10^{158}\right]$. Sin embargo, hay una manera de conseguir este correcto de un orden de magnitud? Tenga en cuenta que dos órdenes de magnitud es demasiado imprecisa para este concurso.

Yo estaba pensando en usar a Stirling aproximación, pero incluso eso es bastante tedioso para hacer a mano (no hay calculadoras fueron permitidas)!

Answer 1

¿Qué hay de malo con la aproximación de Stirling? $$100!\approx \sqrt{2\pi 100}(100/e)^{100}\approx\sqrt{628}(100/e)^{100}$$ Desde $628\approx 625$, la raíz cuadrada da $\approx25$, y ahora: $$(100/e)^{100}=100^{100} e^{-100}= 100^{100} 10^{-100 /\ln 10}$$ Ahora bien, si usted memorizado $100!$, seguramente has memorizado $\ln 10 \approx 2.3$, así: $$100!\approx 2.5 \cdot 10^{157}$$ Que es correcto dentro de un orden de magnitud, sin usar una calculadora.

Anexo: Si usted nota que $100/2.3$ es de alrededor de $43.5$, y el uso de $\sqrt{10}\approx 3.2$, consigue $8 \cdot 10^{157}$, que está aún más cerca.

Answer 2

Si usted es bueno en memoralization, entonces es muy elegante para utilizar uno de Ramanujan del factorial aproximaciones. En Ramanujan del cuaderno perdido usted puede encontrar esto:

$$ n! \sim \sqrt{\pi}n^{n}e^{-n}\sqrt[6]{8n^3+4n^2+n+\frac{1}{30}} $$

Esto es muy fuerte, y también famoso aproximación. El uso de éste por el valor aproximado de $100!$ obtener $9.3326215444826261629 \cdot 10^{157}$. El primer $10$ dígito correcto! Si usted está interesado en la aproximación factorial usted puede obtener algunos de los resultados aquí.

Edit. Esto podría ser interesante.

Answer 3

No estoy del todo familiarizado con este tipo de concurso, así que me perdone si esto es una estupidez.

Asumiendo que usted tiene una calculadora programable, usted podría primer lugar, calcular en un bucle $$A=\log_{10}(100!)=\sum_{i=1}^{i=100}\log_{10}(i)\simeq 157.9700037\simeq158-0.03$$ So, $$10^A=100!\simeq10^{158}10^{-0.03}=e^{-0.03 log (10)}10^{158}\simeq e^{-0.069} 10^{158}$$ Now, use one term of the Taylor expansion of $e^x$ around $x=0$ to get $e^{-0.069}\simeq 0.931$ which corresponds to an underestimate. Then $$0.931 \times 10^{158} \lt 100! \lt 10^{158}$$