Diferencias en los mundos con y sin $\aleph_0<|S|<2^{\aleph_0}$

Question

Paul Cohen nos dijo que si hay o no hay $S$ con \begin{equation} \aleph_0<|S|<2^{\aleph_0} \end{equation} no puede decidirse dentro de ZFC, y por lo tanto es razonable trabajar en dos mundos matemáticos distintos, uno con tal $S$ y el otro sin tales conjuntos.

¿Qué diferencias entre estos dos mundos hemos descubierto hasta ahora? ¿Afecta esto a otros temas además de la lógica?

Gracias.

Answer 1

Hay muchas diferencias, y no sólo en la teoría de conjuntos o la lógica. Varias preguntas tanto aquí como en MO abordan este tema. Se mencionan varios ejemplos aquí donde enumeramos algunos enunciados (de álgebra, teoría de órdenes y análisis) equivalentes a $\mathsf{CH}$ .

Una diferencia clave está en el comportamiento de los conjuntos ordenados incontables: Como se ha mencionado aquí , bajo $\mathsf{CH}$ hay $2^{|\mathbb R|}$ subconjunto denso incontable de $\mathbb R$ ninguno de los cuales se incrusta en ninguno de los otros. Por otro lado, es coherente con el fracaso de $\mathsf{CH}$ que hay precisamente $5$ conjuntos ordenados incontables, tales que dado cualquier orden lineal incontable $\ell$ , al menos uno de estos cinco órdenes se incrusta en $\ell$ y, en particular, dos subconjuntos densos incontables cualesquiera de $\mathbb R$ son isomorfas.

Y esto es típico: $\mathsf{CH}$ tiende a darnos un universo muy "caótico" (hay muchos conjuntos ordenados incontables, hay homomorfismos discontinuos entre álgebras de Banach, hay muchas automorfismos exteriores de las álgebras de Calkin, etc.). Por otra parte, la negación de $\mathsf{CH}$ es coherente con teoremas de "clasificación" muy sólidos que indican que este comportamiento caótico es imposible. Un artículo muy bueno sobre este tema ("Combinatorial dichotomies in set theory"), de Todorcevic, puede encontrarse en aquí . Ahora, concedido, típicamente no es la negación de $\mathsf{CH}$ que nos da estos resultados de clasificación. Pero, en ausencia de $\mathsf{CH}$ los matemáticos tienden a adoptar alternativas adecuadas ("axiomas de forzamiento fuertes").

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Una observación que probablemente merezca la pena mencionar es que hay una gran cantidad de matemáticas interesantes que se vuelven "invisibles" en presencia de fuertes restricciones aritméticas, tales como $\mathsf{GCH}$ o incluso sólo $\mathsf{CH}$ . Por ejemplo, muchos resultados interesantes en aritmética cardinal son triviales bajo $\mathsf{GCH}$ . Además, el estudio de invariantes cardinales del continuo trivializa bajo $\mathsf{CH}$ (siendo ahora todas las invariantes incontables $|\mathbb R|$ ). (He aquí una lista de preguntas o respuestas en este sitio que mencionen características cardinales).