¿Que $G$ ser un grupo de Lie, cómo demostrar que la tangente espacio de $\operatorname{Aut}(T_e G)$ en la identidad es $\operatorname{End}(T_e G)$? Gracias.
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Jeff
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Suponga $E$ es un espacio de Banach. Deje $B(E)$ ser el álgebra de Banach delimitada lineal de operadores en $E$, equipado con la inducida por el operador de la norma. Se le puede llamar el álgebra de endomorphisms si usted prefiere. Después denotar $GL(E)$ el grupo de invertible elementos en $B(E)$, que es el grupo de automorfismos.
Fix$T_0$$GL(E)$. A continuación, para los muy $S\in B(E)$ tal que $\|S\|<\frac{1}{\|T_0^{-1}\|}$, $T_0+S$ $GL(E)$ con inversa dada por $$ (T_0+S)^{-1}=T_0^{-1}(I+ST_0^{-1})^{-1}=T_0^{-1}\sum_{n\geq 0}(-ST_0^{-1})^n. $$ La convergencia de la Neumann de la serie es debido al hecho de que $\|ST_0^{-1}\|\leq\|S\|\|T_0^{-1}\|<1$.
Esto demuestra que $GL(E)$ está abierto en $B(E)$, por lo tanto es un colector de modelado en $B(E)$.
En su caso $E=T_eG$, $GL(E)=Aut(T_eG)$ y $B(E)=End(T_eG)$.
En realidad, el mismo argumento que resulta más general que el conjunto de invertible elementos de un álgebra de Banach es abierto, por lo tanto, un colector de modelado en esta álgebra de Banach.
