Pregunta sobre combinación de permutación

Question

Un comité de 12 está formado por 9 mujeres y 8 hombres. De cuántas maneras, esto se puede hacer si al menos 5 mujeres tienen que ser incluidos en un comité?

No quiero saber cómo responder a esto. Sé que tenemos que tomar de los casos (5 mujeres, 6 mujeres y 7 mujeres y 8 mujeres) y sumarlos.

Quiero saber por qué no puedo obtener el mismo resultado si puedo tomar 5 mujeres primero y, a continuación, combinar las mujeres y de los hombres y de 7 personas a partir de ellos. Esto me dará ${9\choose5}\times{12\choose7}$, pero la respuesta dada es 6062, que me lo hagan llegar por tomar casos.

Answer 1

La respuesta correcta lo mencionado es:

$${9\choose5}{8\choose7}+{9\choose6}{8\choose6}+{9\choose7}{8\choose5}+{9\choose8}{8\choose4}+{9\choose9}{8\choose3}$$

Su propuesta alternativa es:

$${9\choose5}{12\choose7}$$

Esto es igual a:

$${9\choose5}{8\choose7}{5\choose5}+{9\choose6}{8\choose6}{6\choose5}+{9\choose7}{8\choose5}{7\choose5}+{9\choose8}{8\choose4}{8\choose5}+{9\choose9}{8\choose3}{9\choose5}$$

En otras palabras, para cada Comité posible, demasiado están contando esa posibilidad en tiempos de $n\choose5$, $n$ Dónde está el número de mujeres en esa Comisión especial. ¿Ves por qué?

Answer 2

Usted está overcounting, y veamos por qué.

Bien, supongamos que el de las señoras con el nombre "a,b,c,d,e,f,g,h,i", y sus hombres se denominan "j,k,l,m,n,o,p,q" (pido disculpas, de hecho, he llamado a mis peces después de las letras del alfabeto Cirílico, por lo que esto sucede).

Supongamos que elegimos 5 mujeres primero, digamos $a,b,c,d,e$. Luego, mas adelante combinar el descanso y elegir siete personas más. Digamos que eligió $f,g,j,k,l,m,n$, que es de cinco hombres y dos mujeres, de entre el resto del grupo, para hacer un comité de doce miembros, a saber,$a,b,c,d,e,f,g,j,k,l,m,n$.

Ahora, supongamos que me fue de esta manera : me eligió a cinco mujeres en primer lugar, decir $c,d,e,f,g$, y, a continuación, he combinado el resto de la gente, y eligió a siete de estos, que resultó ser $a,b,j,k,l,m,n$. Entonces, esto hace que un comité de doce miembros, que es $a,b,c,d,e,f,g,j,k,l,m,n$.

La misma comisión se ha formado en dos "diferentes" formas por su metodología. Por lo tanto, es probable que se overcounting. Esto se refleja en su respuesta, que es $99,792$, una gran sobreestimación en la propuesta de respuesta de seis mil sesenta y dos.

Answer 3

Supongamos que el $9$ los nombres de las mujeres son $A,B,C,D,E,F,G,H,I.$

Y el $8$ de los hombres de nombres de $J,K,L,M,N,O,P,Q.$

En su primera etapa de selección de $5$ mujeres; supongamos que estas se $A,B,C,D,E.$

En su segunda etapa que usted escoja $7$ otros, que pueden ser ya sea de mujeres o de hombres; supongamos que estas se $F,G,J,K,L,M,N$ --- por tanto, dos mujeres y cinco hombres.

Pero, alternativamente, supongamos que en su primera etapa de la $5$ de las mujeres que fueron recogidos $A,B,C,F,G.$

Y luego, en su segunda etapa que usted escoja $7$ a los demás y ellos se $D,E,J,K,L,M,N$ --- por tanto, dos mujeres y cinco hombres.

De cualquier manera, se obtiene el mismo conjunto de siete mujeres y cinco hombres.

Pero por el segundo método, que ha contado este resultado en particular dos veces (hasta ahora....). Que es lo que está mal con su segundo método.

Answer 4

Otros han explicado lo que está mal con su cálculo. Aquí es un enfoque de derecho más corto que lo esbozo:

Hay $\binom{17}{12}$ posible comités si ignoramos la cuota de género.

La única manera que posiblemente puede haber menos de $5$ de las mujeres en el Comité es si todos los hombres de $8$ son en él--así $\binom{9}{4}$ de los $\binom{17}{12}$ posible comités no son válidos.

El número de comisiones vigente es, por tanto, $$ \binom{17}{12} - \binom{9}{4}. $ $