Isomorfismo entre los grupos de homología

Question

Que $A$ sea una retracción de $X$. Mostrar si $i:A\to X$ es el operador de inserción, entonces $i_*:H_n(A) \to H_n(X)$ es un isomorfismo

(Es fácil ver que es un monomorfismo. Pero ¿por qué es un epimorphism?)

¡Gracias!

Answer 1

Como otros han mencionado, esta afirmación no es cierta sin una condición más fuerte en $r$: que es una deformación de retracción. Es decir, que también desea $i\circ r$ ser homotópicas a la identidad en $X$. Entonces $(i\circ r)_*=(\text{id}_X)_*$ es la identidad así $i_*$ es sobreyectiva. Combinar esto con la inyectabilidad de $i_*$ para que es un isomorfismo.

Answer 2

Que $i:A \to X$ ser la inclusión y $r:X \to A$ la retracción. Por definición de $r \circ i = \text{id}_A$. Entonces uso la homología de hecho es un functor.