Tengo que probar que $e^x \sin x$ no es uniformemente continua en $[0,\infty)$ utilizando el teorema del valor medio. Probé que $\sin x + \cos x \geq 1$ $x\in [2 \pi k, 2\pi k + \pi/2], k\in\mathbb{N}$ todos y veo que $f'(x)=e^x (\sin x + \cos x)\geq e^x$, pero simplemente no puedo pensar de manera demostrando esto con MVT. ¿Alguna sugerencia?
Respuestas
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Si $x,y \in [2 \pi k,2 \pi k+\pi/2]$, entonces el teorema del valor medio y las desigualdades que has escrito implica que $|f(x)-f(y)| \geq e^{2 \pi k}|x-y|$. Así que si escoges $\varepsilon=1$ % que $\delta>0$arbitrarias, puede elegir $k$ grande bastante que $e^{2 \pi k} \delta > 1$. Esta línea de pensamiento debe dar su resultado.
gabr
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No $f(x) = e^x \sin x$ $f(2\pi k) = 0$ y $f(2\pi (k + 0.5)) = e^{2\pi (k+0.5)} $. Luego, utilizando el teorema del valor medio, existe un $c \in 2\pi k + [0, \frac{\pi}{2}]$ donde la derivada es la pendiente de esta línea:
$$ f'(c) = \frac{e^{2\pi (k+0.5)} - 0}{2\pi (k+ 0.5) - 2\pi k} = \frac{e^{2\pi (k+0.5)} }{\pi k}$$
$f$ Tiene un derivado en $c$ es continua allí.
