Sistemas de ecuaciones lineales: ¿Qué quiso decir el autor?

Question

EDIT: Ya que incluso después de la colocación de una recompensa no me llega tanto como un comentario en dos días reescribió por completo mi pregunta en la esperanza para hacerla más accesible y obtener algunas buenas respuestas.

Considere el sistema en forma escalonada (el gordo "X" denota algunas sumas):

Esto da lugar a un mapa $$\phi:\mathbb{R}^s\rightarrow L\subseteq \mathbb{R}^n,$$ where $s$ is the number of free variables for this system, that assign to every value of the free variable a solution ($$ L es el conjunto solución).

El autor de apuntes de donde he copiado el de arriba sigue diciendo, que este mapa es surjectiv, "que puede ser probado directamente, pero la prueba es desordenado. Podemos mostrar en una forma más elegante de moda el uso de la teoría que vamos a aprender más tarde, ya en particular, tenemos que mostrar que el número de $r$ no dependen de nuestra manera de llegar a el sistema anterior, pero sólo en el sistema original".

Hasta el momento de la introducción de este sistema, los conceptos de "espacio vectorial", "rango" y "subespacio", aún no se discute. Fue sólo mostró que - podemos llevar a cada sistema arbitrario a través de la fila de las operaciones de un sistema de la forma anterior - esa fila transformaciones no cambiar la solución. - que podemos resolver el sistema por sustitución hacia atrás (si todos los $b_{r+1},\ldots,b_n$$0$).

Mi pregunta es: ¿por Qué la prueba de que $\phi$ es surjective requieren "más tarde, la teoría" ? Creo que puede ser probado de una manera sencilla (y usar sólo lo que hemos uptil ahora), que cada mapa de $\phi$ que obtenemos a ser la transformación de una solución de sistema en un sistema de la forma anterior es surjective (por supuesto, no sabemos en este punto, si hemos de transformar un sistema de dos formas distintas para un sistema de la forma anterior, ya sea para sus asociados mapas $$\phi:\mathbb{R}^s\rightarrow L\subseteq \mathbb{R}^n \ \text{and} \ \phi:\mathbb{R}^{s'}\rightarrow L\subseteq \mathbb{R}^n$$we have $s=s'$ or $s\neq s'$. This is an essential point, I believe; with "later theory" it also follows that indeed $s=s'$, but we don't need that for surjectivity, nor that $r$ no en la forma en que nos llegan desde algún sistema para que el sistema anterior - en contraste a lo que el autor dice).

(Asumo que tengo tan pocos comentarios, porque en la versión anterior no era claro, lo que estaba pidiendo. Ahora espero que sea más claro!)

Answer 1

Tienes razón en que el autor exagera la dificultad de probar que el mapa de $\phi$ es surjective para el conjunto de $L$ de soluciones, pero su argumento (en los comentarios) no es muy claro, así que voy a aclarar aquí.

El punto principal es que el sistema en forma escalonada es equivalente al sistema original, de modo que los dos tienen el mismo conjunto solución $L$; esto está implícito en el tipo de transformaciones que permitirá alcanzar la forma escalonada (sin restricciones puede ser arbitrariamente añadido o el olvido). Tan sólo tenemos que considerar la forma escalonada sistema por sí mismo.

La esencia de la definición de $\phi$ es que utiliza las ecuaciones del sistema para deducir los valores de todas las variables a partir de los valores de la libre variables entre ellos. Por lo tanto, $\phi(x_1,\ldots,x_s)\in L$ todos los $(x_1,\ldots,x_s)\in\Bbb R^s$: siempre se llega a una solución, independientemente de los valores de una toma para las variables libres. Pero también sabemos que $\phi$ no cambiar los valores de las variables libres de sí mismos, de modo que si $i_1,\ldots,i_s\in\{1,\ldots,n\}$ son las posiciones de las variables libres y $\pi:\Bbb R^n\to\Bbb R^s$ es el mapa de la extracción de los valores en esas posiciones, por lo $\pi(x_1,\ldots,x_n)=(x_{i_1},\ldots,x_{i_s})$, $\pi(\phi(x_1,\ldots,x_s))=(x_1,\ldots,x_s)$ (si podemos resolver todas las variables de los libres, pero luego deje de aquellas variables que no son libres, nos acaba de obtener de vuelta los valores empezamos). Y, finalmente, sabemos que no hubo elección en la búsqueda de la no-libre variables, ya que cada uno se dedujo a través de una ecuación del sistema a partir de los valores de las variables libres solo (para la primera resuelto) o a partir de los valores de las variables libres y resuelto previamente los valores de la no-variables libres. Esto significa que dos soluciones que tienen los mismos valores para las variables libres deben ser idénticos (el primer no-libres de la variable de donde se diferencian estaría en contradicción con el hecho de que ambas son soluciones); en la fórmula, para $(x_1,\ldots,x_n),(y_1,\ldots,y_n)\in L$ la condición de $\pi(x_1,\ldots,x_n)=\pi(y_1,\ldots,y_n)$ (acuerdo sobre las variables libres) implica $(x_1,\ldots,x_n)=(y_1,\ldots,y_n)$ (acuerdo de todas partes).

Ahora se argumenta surjectivity de $\phi$. Deje $(x_1,\ldots,x_n)\in L$ ser cualquier solución, y poner $(y_1,\ldots,y_n)=\phi(\pi(x_1,\ldots,x_n))=\phi(x_{i_1},\ldots,x_{i_s})$. Luego, en un mano a $(y_1,\ldots,y_n)$ es en la imagen de $\phi$, y por lo tanto en $L$ ($\phi$ sólo produce soluciones), y por otro lado $\pi(y_1,\ldots,y_n)=\pi(\phi(\pi(x_1,\ldots,x_n)))=\pi(x_1,\ldots,x_n)$. Pero acabamos de ver que esto implica $(x_1,\ldots,x_n)=(y_1,\ldots,y_n)$, y, en particular, $(x_1,\ldots,x_n)$ es (también) en la imagen de $\phi$. Dijo que sin fórmulas: dado ninguna solución, se puede extraer los valores de las variables libres y construir a partir de ellos el uso de $\phi$ para todos los valores de la no-variables libres; pero ya que esta es la única manera de extender los valores de una solución, se debe haber vuelto de nuevo a nuestra solución original.