¿Definición de la enésima derivada? [Primer puesto]

Question

Si la definición de la derivada es $$ f^\prime(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x} $$ ¿Tendría sentido que la enésima derivada fuera (ya sé que la "n" en delta x a la enésima potencia es inútil) $$ f^{(n)}(x)=\lim_{\Delta x \to 0} \sum_{k=0}^{n}(-1)^k{n \choose k}\dfrac{f(x+\Delta x(n-k))}{\Delta x^n} $$ He llegado a esta conclusión utilizando este método $$ f^\prime(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x} $$ (esto es correcto, ¿no?) $$ f^{\prime\prime}(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{f^\prime(x+\Delta x) - f^\prime(x)}{\Delta x}=$$
$$\lim_{\Delta x \to 0}\dfrac{\dfrac{f((x+\Delta x)+\Delta x)-f(x+\Delta x)}{\Delta x}-\dfrac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}{\Delta x}=$$
$$\lim_{\Delta x \to 0}\dfrac{f(x+2\Delta x)-2f(x+\Delta x)+f(x)}{\Delta x^2} $$ Después de seguir este método un par de veces (creo que lo utilicé hasta la 5ª derivada) me noté el patrón de $$(a-b)^n$$ Y así es como llegué a $$ f^{(n)}(x)=\lim_{\Delta x \to 0} \sum_{k=0}^{n}(-1)^k{n \choose k}\dfrac{f(x+\Delta x(n-k))}{\Delta x^n} $$ ¿He cometido un error garrafal en alguna parte o esta definición se cumple realmente?
Gracias por su tiempo, se lo agradezco mucho.
P.D. Se agradecerá cualquier aportación sobre el uso de etiquetas.

Answer 1

Esto probablemente no es un buen definición de la $n$ ª derivada. Para ver esto, consideremos el caso $n = 2$ : $$ f''(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + 2h) - 2f(x + h) + f(x)}{h^2} $$ Definir $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ como sigue. En primer lugar, defina $f(0) = 0$ . Ahora defina $f$ en los intervalos $\left[-1, -\tfrac12\right)$ y $\left(\tfrac12, 1\right]$ para ser su función favorita sin límites, por ejemplo $\frac{1}{x^2 - 1/4}$ es una buena opción. Ahora, para cualquier $x$ , dejemos que $k$ sea el único número entero tal que $2^k x$ está contenido en uno de estos intervalos, y definir $f(x) = 2^{-k} f(2^k x)$ .

Esta construcción satisface $f(2h) = 2f(h)$ para todos $h \in \mathbb{R}$ por lo que la fórmula de la derivada anterior da $$ f''(0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(2h) - 2f(h) + f(0)}{h^2} = \lim_{h \to 0} \frac{0}{h^2} = 0 $$ Sin embargo, $f$ es salvajemente discontinuo en $0$ y, de hecho, es ilimitado en cualquier vecindad que contenga $0$ .

Answer 2

Cuando hiciste para f''(x) estás tomando ambos límites como un único límite para delta x. lo que hice es tomar $h_1$ para el primer límite y $h_2$ para el segundo límite, por lo que la derivada n es el límite $(h_1, h_2, h_3,.... h_n)$ --> $(0,0,0,....,0)$ y alguna función.