Dejar $A$ sea una matriz compleja. Denotemos por $J(A)$ la forma canónica de Jordania de $A$ . Sea $C[J(A)]$ sea el centralizador de $J(A)$ en $M_n(\mathbb C)$ . ¿Podemos construir una matriz real $B$ Es decir, $B$ sólo tiene entradas reales, verificando la igualdad $C[J(A)]=C(B)$ , en $M_n(\mathbb C)$ ?
Respuesta
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$J(A)$ puede escribirse como $S+N$ , donde $S$ es diagonal y $N$ es nilpotente (y sólo tiene entradas $0$ y $1$ ). Además, $S$ y $N$ son polinomios en $J(A)$ .
De ello se desprende que $C$ centraliza $J(A)$ si y sólo si centraliza $S$ y $N$ .
La receta para $B$ ya está claro, $B = T+N$ , donde $T$ se obtiene de $S$ sustituyendo los distintos valores propios por números reales distintos.
Esto se debe a que $S$ y $T$ tienen el mismo centralizador, que consiste en matrices diagonales en bloque, con bloques arbitrarios en cada eigespacio.
