Polinomio mínimo de $1 + 2^{1/3} + 4^{1/3}$

Question

Estoy intentando calcular el polinomio mínimo de a$1 + 2^{1/3} + 4^{1/3}$$\mathbb Q$. Hasta ahora, mi razonamiento es el siguiente:

El Galois conjugados de $2^{1/3}$$2^{1/3} e^{2\pi i/3}$$2^{1/3} e^{4\pi i /3}$. Tenemos $4^{1/3} = 2^{2/3}$, por lo que la imagen de $4^{1/3}$ bajo un automorphism $\sigma$ fijación $\mathbb Q$ está determinado por la imagen de $2^{1/3}$: debe ser igual al cuadrado de $\sigma(2^{1/3})$. Por lo tanto, la Galois conjugados de $1 + 2^{1/3} + 4^{1/3}$$1 + 2^{1/3} e^{2\pi i/3} + 4^{1/3} e^{4\pi i/3}$$1 + 2^{1/3} e^{4\pi i/3} + 4^{1/3} e^{2\pi i/3}$. Por lo tanto, el polinomio mínimo es $(x-a)(x-b)(x-c)$, donde

$$\begin{align*} a&=1 + 2^{1/3} + 4^{1/3},\\ b&=1 + 2^{1/3} e^{2\pi i/3} + 4^{1/3} e^{4\pi i/3},\text{ and}\\ c&=1 + 2^{1/3} e^{4\pi i/3} + 4^{1/3} e^{2\pi i/3}. \end{align*}$$

Sin embargo, este polinomio no parecen tener coeficientes en $\mathbb Q$! ¿Qué estoy haciendo mal?

Answer 1

Ampliando y utilizando la relación $1+e^{2\pi i/3}+e^{4\pi i/3}=0$ mucho tengo $$ (x-a) (x-b) (asimismo) = x ^ 3-3 x ^ 2-3 x-1. $$ A mi me parece como coeficientes racionales.

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Otra manera de ver esto es calcular $$ (a-1) ^ 3 = (2 ^ {1/3} +4 ^ {1/3}) ^ 3 = 2 +3\cdot 2 ^ {4/3} +3\cdot 2 ^ {5/3} +4 = 6 +6 (2 ^ {1/3} +4 ^ {1/3}) = 6 +6 (a-1) = 6a. Por lo tanto $$ $$ 0=a^3-3A^2+3A-1-6a=a^3-3A^2-3A-1. $$

Answer 2

Podemos concluir que el polinomio tiene coeficientes racionales, incluso sin realizar ningún tipo de expansión. La división de campo para el polinomio, que es $\mathbb{Q}(2^{1/3},\omega)$ (aquí se $\omega = e^{2\pi i/3}$) grupo de Galois $S_3$ generado por los automorfismos $\sigma$ la fijación de las raíces de la unidad y el envío de $2^{1/3}$$2^{1/3}\omega$, e $\tau$ fijación $2^{1/3}$ y el envío de $\omega$$\omega^2$. Cuando expandimos $(x-a)(x-b)(x-c)$, los coeficientes serán dados (hasta firmar) los de primaria simétrica polinomios en $a,b,c$. Puesto que cada elemento de a $S_3$ permutes el conjunto $\{a,b,c\}$, el simétrico de polinomios será solucionado por $S_3 \cong \operatorname{Gal}(\mathbb{Q}(2^{1/3},\omega):\mathbb{Q})$, por lo que se encuentran en el $\mathbb{Q}$.