Condiciones de frontera de Fermion a temperatura finita

Question

En una QFT de temperatura finita, los fermiones deben obedecer a las condiciones de frontera anti-periódicas. ¿Cuál es la razón para esto?

Answer 1

Funciones de partición se obtienen por medio de la ruta de las integrales a lo largo de cerrado rutas de acceso. En el caso de los fermiones, anti-periódicos de las condiciones de contorno de dar la seguimiento y periódico de las condiciones de contorno de dar la supertrace:

$$ \mathrm{Tr}e^{-T H} = \int_{\begin{Bmatrix}\psi(T) = -\psi(0) \\ \bar{\psi}(T) = -\bar{\psi}(0)\end{Bmatrix}} e^{\int_0^T \bar{\psi}\dot{\psi}+ H(\bar{\psi}, \psi)} \mathcal{D}\psi\mathcal{D}\bar{\psi}$$

$$ \mathrm{Str}e^{-TH} = \int_{\begin{Bmatrix}\psi(T) = \psi(0) \\ \bar{\psi}(T) = \bar{\psi}(0)\end{Bmatrix}} e^{\int_0^T \bar{\psi}\dot{\psi}+ H(\bar{\psi}, \psi)} \mathcal{D}\psi\mathcal{D}\bar{\psi}$$

Explicación:

Fermionic ruta de las integrales se basan en el Grassmann símbolos de operadores:

$$ A(\bar{\psi}_f, \psi_i) = \sum_{J,K=1}^N A_{JK} \bar{\psi}_f^J, \psi_i^K$$

Donde $J,K$ son subconjuntos de a $\{ 1, ....., N\}$ describiendo multi-índices, y $|J|, |K|$ denota el número de elementos del conjunto $J$. $\psi^{J}$ es antisimétrica producto de la $|J|$ variables de Grassmann. Estos símbolos son equivalentes a $2^N \times 2^N$ matrices y puede ser visto como la asignación de un espacio de Hilbert indicado por el subíndice $i$ al final del espacio de Hilbert indicado por el subíndice $j$. La traza y el supertrace de estos operadores se definen por:

$$ \mathrm{Tr} A = \sum_J A_{JJ}$$

$$ \mathrm{Str} A = \sum_J (-1)^{|J|} A_{JJ}$$

Las huellas pueden ser obtenidos a partir de Gauss-Grassmann la integración de la operador símbolo después de igualar el inicial y el final de Grassmann variables:

$$ \mathrm{Tr} A = \int A(\bar{\psi}_f = -\bar{\psi}_i, \psi_i) e^{-\bar{\psi}_i \psi_i} \Pi_{i=1}^N d\bar{\psi}_i d \psi_i $$

$$ \mathrm{Str} A = \int A(\bar{\psi}_f = \bar{\psi}_i, \psi_i) e^{-\bar{\psi}_i \psi_i} \Pi_{i=1}^N d\bar{\psi}_i d \psi_i $$

La razón de esto es que en el segundo caso, habrá un adicional signo menos cuando el número de variables de Grassmann es impar. Por ejemplo, las dos dimensiones del operador:

$ A = A_{00} + A_{11}\bar{\psi}_f \psi_i$

Entonces:

$\int A(-\bar{\psi}, \psi) e^{-\bar{\psi} \psi}d\bar{\psi}d\psi = (A_{00} -A_{11}\bar{\psi} \psi) (1- \bar{\psi} \psi) d\bar{\psi}d\psi = - (A_{00} + A{11}) \int \bar{\psi} \psi d\bar{\psi}d\psi = A_{00} + A_{11}$

Donde el cambio de signo en el último paso se debe al cambio en el orden de entre el$\psi$$\bar{\psi}$, del mismo modo

$\int A(\bar{\psi}, \psi) e^{-\bar{\psi} \psi}d\bar{\psi}d\psi = (A_{00} +A_{11}\bar{\psi} \psi) (1- \bar{\psi} \psi) d\bar{\psi}d\psi = - (A_{00} - A{11}) \int \bar{\psi} \psi d\bar{\psi}d\psi = A_{00} - A_{11}$

Answer 2

de alguna otra forma, tal vez la explicación:

Recordar la térmica promedio de $<\hat{A}>_\beta =\rm{Tr}~ e^{-\beta \hat{H}} \hat{A} $, (set $\rm{Tr}~ e^{-\beta \hat{H}}=1$).

Tomar $$\hat{A}=T[\hat{\psi}(x,\tau_1)\hat{\psi}(y.\tau_2)]=\theta(\tau_1-\tau_2)\hat{\psi}(x,\tau_1)\hat{\psi}(y.\tau_2)- \theta(\tau_2-\tau_1)\hat{\psi}(y,\tau_2)\hat{\psi}(x.\tau_1)$$ poner $\hat{A}$ nuevo en el termal promedio de fórmula con $\tau_2=0$ y vamos a tener $$ \rm{Tr} ~e^{-\beta \hat{H}} \hat{\psi}(x,\tau_1)\hat{\psi}(y.0) \\ = \rm{Tr} ~\hat{\psi}(y.0)e^{-\beta \hat{H}}\hat{\psi}(x,\tau_1) \\ = \rm{Tr} ~e^{-\beta \hat{H}}e^{\beta \hat{H}}\hat{\psi}(y.0)e^{-\beta \hat{H}} \hat{\psi}(x,\tau_1) \\ = \rm{Tr} ~e^{-\beta \hat{H}}\hat{\psi}(y.\beta) \hat{\psi}(x,\tau_1)$$

Escribir el anterior en la ruta de forma integral, y recuerda que las inserciones en la ruta integral se ordenará automáticamente. $$\int [d\psi]e^{-S} \psi(x,\tau_1)\psi(y.0)=\int [d\psi]e^{-S} \psi(y.\beta) \psi(x,\tau_1) $$ A pesar de que no la condición de contorno de la ruta integral, podemos concluir que $\psi(y,0)=-\psi(y,\beta)$.

Answer 3

Usted puede pensar como $\beta$ proportionnal a un $2\pi$ ángulo de $\theta$. El vínculo entre la spinor campos de $\psi(0)$$\psi(\beta)$, entonces, debe ser analizado como el vínculo entre el$\psi(\theta=0)$$\psi(\theta=2\pi)$. El ángulo de $\theta$ podría ser considerado como un "espacio de rotación de ángulo de $\theta$ para el campo $\psi$ . Ahora, sabemos que spinors, después de una rotación de $2 \pi$, obtener un signo menos. Así, llegamos a la conclusión de que la correcta boudary condición es $\psi(\beta) = -\psi(0)$

Más rigor, pero equivalentemente, podemos pensar en un compacto coordenada espacial, donde $x=0$ se identifica con $x =\beta$. Un camino cerrado de$x=0$$x=\beta$, es equivalente a un $2\pi$ "espacio de rotación".