En una QFT de temperatura finita, los fermiones deben obedecer a las condiciones de frontera anti-periódicas. ¿Cuál es la razón para esto?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?Funciones de partición se obtienen por medio de la ruta de las integrales a lo largo de cerrado rutas de acceso. En el caso de los fermiones, anti-periódicos de las condiciones de contorno de dar la seguimiento y periódico de las condiciones de contorno de dar la supertrace:
Tre−TH=∫{ψ(T)=−ψ(0)ˉψ(T)=−ˉψ(0)}e∫T0ˉψ˙ψ+H(ˉψ,ψ)DψDˉψ
Stre−TH=∫{ψ(T)=ψ(0)ˉψ(T)=ˉψ(0)}e∫T0ˉψ˙ψ+H(ˉψ,ψ)DψDˉψ
Explicación:
Fermionic ruta de las integrales se basan en el Grassmann símbolos de operadores:
A(ˉψf,ψi)=N∑J,K=1AJKˉψJf,ψKi
Donde J,K son subconjuntos de a {1,.....,N} describiendo multi-índices, y |J|,|K| denota el número de elementos del conjunto J. ψJ es antisimétrica producto de la |J| variables de Grassmann. Estos símbolos son equivalentes a 2N×2N matrices y puede ser visto como la asignación de un espacio de Hilbert indicado por el subíndice i al final del espacio de Hilbert indicado por el subíndice j. La traza y el supertrace de estos operadores se definen por:
TrA=∑JAJJ
StrA=∑J(−1)|J|AJJ
Las huellas pueden ser obtenidos a partir de Gauss-Grassmann la integración de la operador símbolo después de igualar el inicial y el final de Grassmann variables:
TrA=∫A(ˉψf=−ˉψi,ψi)e−ˉψiψiΠNi=1dˉψidψi
StrA=∫A(ˉψf=ˉψi,ψi)e−ˉψiψiΠNi=1dˉψidψi
La razón de esto es que en el segundo caso, habrá un adicional signo menos cuando el número de variables de Grassmann es impar. Por ejemplo, las dos dimensiones del operador:
A=A00+A11ˉψfψi
Entonces:
∫A(−ˉψ,ψ)e−ˉψψdˉψdψ=(A00−A11ˉψψ)(1−ˉψψ)dˉψdψ=−(A00+A11)∫ˉψψdˉψdψ=A00+A11
Donde el cambio de signo en el último paso se debe al cambio en el orden de entre elψˉψ, del mismo modo
∫A(ˉψ,ψ)e−ˉψψdˉψdψ=(A00+A11ˉψψ)(1−ˉψψ)dˉψdψ=−(A00−A11)∫ˉψψdˉψdψ=A00−A11
de alguna otra forma, tal vez la explicación:
Recordar la térmica promedio de <ˆA>β=Tr e−βˆHˆA, (set Tr e−βˆH=1).
Tomar ˆA=T[ˆψ(x,τ1)ˆψ(y.τ2)]=θ(τ1−τ2)ˆψ(x,τ1)ˆψ(y.τ2)−θ(τ2−τ1)ˆψ(y,τ2)ˆψ(x.τ1) poner ˆA nuevo en el termal promedio de fórmula con τ2=0 y vamos a tener Tr e−βˆHˆψ(x,τ1)ˆψ(y.0)=Tr ˆψ(y.0)e−βˆHˆψ(x,τ1)=Tr e−βˆHeβˆHˆψ(y.0)e−βˆHˆψ(x,τ1)=Tr e−βˆHˆψ(y.β)ˆψ(x,τ1)
Escribir el anterior en la ruta de forma integral, y recuerda que las inserciones en la ruta integral se ordenará automáticamente. ∫[dψ]e−Sψ(x,τ1)ψ(y.0)=∫[dψ]e−Sψ(y.β)ψ(x,τ1) A pesar de que no la condición de contorno de la ruta integral, podemos concluir que ψ(y,0)=−ψ(y,β).
Usted puede pensar como β proportionnal a un 2π ángulo de θ. El vínculo entre la spinor campos de ψ(0)ψ(β), entonces, debe ser analizado como el vínculo entre elψ(θ=0)ψ(θ=2π). El ángulo de θ podría ser considerado como un "espacio de rotación de ángulo de θ para el campo ψ . Ahora, sabemos que spinors, después de una rotación de 2π, obtener un signo menos. Así, llegamos a la conclusión de que la correcta boudary condición es ψ(β)=−ψ(0)
Más rigor, pero equivalentemente, podemos pensar en un compacto coordenada espacial, donde x=0 se identifica con x=β. Un camino cerrado dex=0x=β, es equivalente a un 2π "espacio de rotación".