La visualización de la raíz cuadrada de 2

Question

Una estudiante de secundaria soy de tutoría me hizo una pregunta que metió conmigo - me preguntaba si alguien podría arrojar algo de luz sobre ella aquí.

Estamos hablando acerca de cómo la raíz cuadrada de 2 es un número irracional, y eso significa que usted no puede escribir ese valor como el cociente de dos números enteros. La forma decimal de este valor va para siempre, sin repetir. Y, a continuación, tratamos de visualizar lo que significa que cuando un número decimal "va para siempre."

Traté de explicar es como imaginar a dibujar una línea, pero usted mantenga la adición de pequeñas y más pequeñas a su longitud. Las piezas terminan siendo tan pequeños, de manera efectiva obtener una longitud finita. Fue aquí que yo podía oír mi propia explicación de descomponerse. Me di cuenta de que yo realmente no sé cómo visualizar este concepto.

El diagrama que se utiliza para describir esta línea fue la diagonal de un cuadrado con un lado de longitud de 1. La longitud de la diagonal es la raíz cuadrada de 2, y claramente, tiene una longitud finita (se ajusta dentro de la caja, después de todo). Sin embargo, mirando a esa longitud en forma decimal, al parecer no es muy finito. Seguro de que los valores adicionales que seguir recibiendo añadido a medida que vaya desde la derecha del punto decimal seguir recibiendo más y más pequeños, pero cada uno tiene sustancia, añadiendo a la longitud total de la línea.

Lo que me estoy perdiendo aquí? O, ¿hay una mejor manera de explicar este concepto?

Answer 1

Intenta explicar con un número de línea:

Dividir el intervalo entre 1 y 2 en diez partes iguales y el número de ellos 0-9. Tenga en cuenta que estos son décimas, y así los números de la forma 1.4... caer en la división de cuatro.

Ahora divida el intervalo entre 1.4 y 1.5 en diez partes iguales y se nota que estos son centésimas, por lo que los números de la forma 1.41... caer en la primera división.

Continuando de esta manera demuestra que, en cada paso, añadir más dígitos nos da un pequeño y intervalo menor que el número puede ser en y por lo que se incrementa la precisión en lugar de simplemente hacer que el número crezca.

Answer 2

Me gustaría empezar con una forma mucho más simple ejemplo. Supongamos que queremos localizar $1/3$ en un número de línea, pero el número de línea es tal que cada intervalo se divide en décimas, no terceras partes (por ejemplo, como una regla métrica). ¿Cómo localizar un número? Bien, tendría que empezar por el movimiento de $3/10$ unidades de $0$, así que ahora estás en $0.3$. A continuación, entre el$3/10$$4/10$, la regla es de nuevo dividido en diez igualdad de sub-intervalos, es decir,$0.31, 0.32, 0.33, \ldots, 0.39, 0.40$. Volvemos a elegir la tercera marca de graduación, así que ahora estamos en $0.33$. Por ahora debemos ver qué hacer a continuación: entre el$0.33$$0.34$, hay más de diez intervalos, y elegimos la tercera marca de graduación, que es $0.333$. Este proceso nunca termina. Hemos ido de $0.3$$0.33$$0.333$#%, y así sucesivamente. La posición que nos encontramos después de un número infinito de pasos es exactamente $0.3333$.

Ahora usted puede decir, "¿por qué el gobernante tiene que ser dividido en décimas? Si el gobernante había sido simplemente divide en exacta tercios, que no necesita de una elaboración, proceso infinito." Y eso es correcto. Pero el punto es que la división de la regla es análoga a la representación decimal de un número, donde cada uno de los sucesivos dígitos, sólo puede ser obtenida mediante el movimiento de una marca de cotejo para la próxima. De lo contrario, si queríamos para "medir" un número como $1/3$ en un número de línea, sólo podríamos obtener de nosotros una "regla especial", donde sólo hay dos marcas de graduación: uno en $\sqrt{2}$ y el otro en exactamente $0$. Pero eso no ilustran el hecho de que la expansión decimal de $\sqrt{2}$ $\sqrt{2}$ Cada número real se identifica con un único punto en la recta numérica. Pero si queremos que la relación de números tales como algún tipo de expansión decimal, entonces debemos recurrir a la utilización de la regla dividida en sucesivas décimas.

Answer 3

Esta es otra forma de aproximar la raíz cuadrada de dos números racionales que no depende de que el sistema decimal.

Supongamos $p^2-2q^2=\pm 1$, de modo que $\left(\cfrac pq\right)^2=2\pm\cfrac 1{q^2}$, la más grande que podemos hacer a $q$ más cerca de $\cfrac pq$$\sqrt 2$.

Considere ahora$(p+2q)^2-2(p+q)^2=p^2+4pq+4q^2-2p^2-4pq-2q^2=2q^2-p^2=\mp 1$, de modo que $\cfrac {p+2q}{p+q}$ es una mejor aproximación.

De esto podemos obtener las aproximaciones $$\frac 11, \frac 32, \frac 75, \frac {17}{12}, \frac {41}{29},\frac {99}{70} \dots$$

La entrada de la Wikipedia da también que si $r$ es una aproximación, $\frac r2+\frac 1r$ es mejor, que recoge $1, \frac 32, \frac {17}{12}, \frac {577}{408} \dots$ que converge muy rápidamente, recogiendo una larga de la anterior..

Esto se lleva a $$\frac pq \text{ to } \frac {p^2+2q^2}{2pq}$$

También le da una prueba geométrica que es bastante visual y puede ayudar - el problema con este tipo de pruebas es que a menudo el trabajo por algún tipo de descendencia, y por lo tanto terminar, para no dar una sensación de nunca acabar.

Answer 4

Como de costumbre, con la visualización de las cosas, un gráfico de ayuda - aquí es un gráfico de y=$\sqrt x$
(y=$x^\frac {1}{2}$ si usted lo prefiere ):

Como $x$ se hace más grande, $\sqrt x$ se hace más grande, pero más pequeños y pequeñas cantidades - valores de ejemplo:

$\sqrt 1=1$, $\sqrt 2=1.414$~, $\sqrt 3=1.732$~, $\sqrt 4=2$, $\sqrt 4=2$, $\sqrt 5=2.236$~

También, por supuesto, nada aparece debajo de $y$=0 o a la izquierda de $x$= como es imposible obtener la raíz cuadrada de un negativo

Answer 5

La primera cosa a tener en cuenta es que una representación decimal es sólo un montón de fracciones; ¿cuántos todo décimas, cuántos todo centésimas etc.

Ahora, un número irracional es uno que no es un número entero de estas fracciones, sin embargo los pequeños que hacen de las fracciones.

Como alguien señaló, se puede demostrar con los números recurrentes dígitos decimales como 1/3; esto no es todo 1s, 3 décimas, 3 centésimas, etc. Debido a que este es recursivo, el estudiante debe obtener la idea de que nunca va a coincidir con las fracciones basado en 10s, y así se repite sin parar (que es una forma más pueden agarrar frase de 'infinitamente').

Por lo tanto, si el problema es que la representación decimal va sin parar, tienes un ejemplo sin ir tan lejos como los números irracionales.

Por el contrario, por supuesto, un número irracional es uno que va en forma indefinida, independientemente de la base de la cantidad, y eso es bastante más difícil de explicar.