Separabilidad por surjectivity de Frobenius Endomorphism

Question

Estoy tratando de probar la siguiente declaración:

Deje $F$ ser un campo finito de característica principal $p$ y deje $E$ ser el campo generado por $F$ y los elementos $\{t^{1/p},n \geq 1\}$, donde $t$ es indeterminado. Entonces, cualquier extensión algebraica de $E$ es separables.

Ya he demostrado que el Frobenius Endomorfismo en $E$ es surjective. Estoy tratando de utilizar el siguiente hecho:

Dado $\alpha$ un elemento de una expresión algebraica extensión de $E$, $\alpha$ es separable si, y sólo si, la derivada de $Irr(\alpha,E)$ no es cero.

Entonces, yo sé que el polinomio irreducible puede ser expresada en función de $x^p$,

$$Irr(\alpha, E) = p(x^p)\in F[x].$$

Sin embargo, me quedé atrapado aquí y no sé qué más hacer. Podría alguien darme y consejo?

Answer 1

Escribe con $P(X) = \sum_{k=0}^n a_k X^k$. Como sabes que el Frobenius en$a_k \in E$ es un surjective, puedes encontrar elementos$E$ tales que$b_k \in E$.

Se deduce que$b_k^p = a_k$$$P(x^p) = \sum_{k=0}^n a_k X^{pk} = \sum_{k=0}^n b_k^p X^{pk} = \Big(\sum_{k=0}^n b_k X^k\Big)^p$ P (x ^ p) $ se supone que es irreductible.