Deje$G$ ser un grupo con 4 elementos. Demuestra que es abelian.

Question

Hola, intenté esto, pero realmente no sé si es correcto. Necesito algunas sugerencias

Deje$G$ ser$\{e,a,b,c\}$ Supongamos que$G$ no es abelian.

Esto significa que existe$a,b$ tal que$ab\neq ba$.

Podemos elegir 2 elementos$a, b$ que no son inversos entre sí.

Lo sabemos $(ab≠b \land ab≠e \land ab≠a) \implies ab=c$; también sabemos que$(ba≠b \land ba≠e \land ba≠a \land ab≠ba) \implies ba=d$ es una contradicción con nuestra suposición de que G tenía 4 elementos.

¿Es esta prueba legítima?

Answer 1

Su prueba es buena, pero puede ser más elegante. Este es un asunto de experiencia... sigue practicando!

Deje que G {e,a,b,c} supongamos que G no es abelian.

Esto significa que no existen a,b tal que ab≠ba.

Es extraño decir "no existe $a,b$" al $a$ $b$ ya son explícitos los objetos. Mejor redacción sería, "existen dos elementos, decir $a$$b$, que no conmutan." De forma alternativa, "sin pérdida de generalidad, supongamos $ab \neq ba$."

Podemos elegir 2 de los elementos a, b que no son inversos el uno al otro.

De nuevo es extraño ser "elegir" $a$ $b$ en este punto, ya estamos trabajando ya con ellos. Mejor: "tenga en cuenta que $a$ $b$ no son inversos el uno del otro, para, a continuación,$ab=ba=e$."

Sabemos que (ab≠b ^ ab≠e ^ ab≠a)-> ab=c;

Podría escribir este más suavemente así: "Desde $ab \notin \{a,b,e\}$, se deduce que el $ab = c$."

... también sabemos que (ab≠b ^ ab≠e ^ ab≠a ^ ab≠ba) -> ba=d, lo cual es una contradicción con nuestra hipótesis de que G tiene 4 elementos.

Entiendo lo que quieres decir aquí, pero ¿qué es exactamente $d$? Si usted realmente quiere mantener esta $d$, sería más claro para escribir, "$ba = d$ algunos $d \notin G$, contradiciendo el cierre de $G$". Pero esto es más complejo de lo necesario; evitar la introducción de nuevos objetos si se puede. En lugar de eso, la apelación a la simetría: "Por el mismo razonamiento, también tenemos $ba = c$. Pero, a continuación,$ab = ba$, una contradicción."

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La versión revisada de la prueba:

Deje $G = \{e,a,b,c\}$. Supongamos $G$ no es abelian; sin pérdida de generalidad, supongamos $ab \neq ba$. Tenga en cuenta que $a$ $b$ no son inversos el uno del otro, para, a continuación,$ab = ba = e$.

Desde $ab \notin \{a,b,e\}$, se deduce que el $ab=c$. Por el mismo razonamiento, $ba=c$. Pero, a continuación,$ab=ba$, una contradicción.

Answer 2

Si$a\in G$ tiene orden 4. hecho, si no existe$a\neq b$ de la orden 2 y$a\neq b^{-1}$. Tenemos$ab\neq a$ de lo contrario$a^{-1}(ab)=1=b$, también tiene$ab\neq b$. El grupo es$\{1,a,b,ab\}$, pero$ba\neq a, ba\neq b$, por lo que$ba=ab$.

Answer 3

El orden de cada elemento divide el orden del grupo. Si hay un elemento de orden$4$, entonces$G$ es cíclico y trivialmente abeliano.

Si no hay ningún elemento de orden$4$, entonces cada elemento (no identidad) tiene orden$2$. ¿Puedes mostrar la siguiente proposición general?

Lema: si cada elemento de un grupo$G$ tiene orden$2$, entonces$G$ es abelian.

Answer 4

Hay dos casos.

1. Si $G$ es cíclica y, a continuación, $G$ es, obviamente, conmutativa.

2. Si $G$ no es cíclica, a continuación, todos los no-trivial elemento tiene orden de $2$. Vamos, a continuación,$e \ne x \in G$: entonces tenemos el subgrupo $\{ e, x \}$. Escoja ahora $y \in G \setminus \{ e, x \}$, por lo que hasta ahora tenemos los elementos $\{ e, x, y \}$. ¿Qué acerca de los elementos $xy$$yx$? Bueno, ya $G$ sólo ha $4$ elementos, se deduce que cerca de dos de $\{ e, x, y, xy, yx \}$ debe ser igual. Desde $x, y \ne e$, la única posibilidad es $xy = yx$, lo que significa que conmutatividad.