Demostrar que $α$ es un cuadrado perfecto en los enteros cuadráticos en $\mathbb Q[\sqrt{d}]$

Question

Pregunta:

Supongamos que $\mathbb Q[\sqrt{d}]$ es un UFD, y $$ is an integer in $ \mathbb Q[\sqrt{d}] $ so that $$ y $\bar$ no tienen ningún factor común, pero $N()$ es un cuadrado perfecto en $\mathbb Z$ . ¿Cómo puedo demostrar que $$ is a perfect square in the quadratic integers in $ ¿Q[\Nmathbb Q[\Nsqrt{d}]$?

Lo que he hecho:

No estoy seguro de si estoy enfocando esto correctamente pero si $\alpha$ y $\bar{\alpha}$ no tienen un factor común, entonces $\alpha=\pi_{1}\pi_{2}\cdots\pi_{k}$ y $\bar{\alpha}=\pi'_{1}\pi'_{2}\cdots\pi'_{j}$ donde $ \pi_{i}$ y $\pi'_{i} $ son primos en $\mathbb{Q}(\sqrt{d})$ . Pero $N(\alpha) = \alpha\bar{\alpha}=\pi_{1}\pi_{2}\cdots\pi_{k}\pi' _{1}\pi'_{2}\cdots\pi'_{j}=n^{2}$ donde $n \in \mathbb{Z}$ . De alguna manera tengo que demostrar que $\alpha=\beta^{2}$ donde $\beta$ es un entero cuadrático en $ \mathbb{Q}(\sqrt{d})$ (es decir, $\alpha$ es un cuadrado perfecto en los enteros cuadráticos en $\mathbb{Q}(\sqrt{d})$ )

Answer 1

[Supongo que quieres decir $\mathbb Z[\sqrt d]$ en lugar de $\mathbb Q[\sqrt d]$ . Este último es un campo, y no tiene mucho sentido hablar de factorización única en un campo].

Puedes completar tu estrategia demostrando que (con tu notación) el $\pi_i$ y $\pi_j'$ son diferentes.

Lema. Dejemos que $A$ sea un UFD y $x$ , $y$ sean dos elementos coprimos tales que $xy$ se asocia a un cuadrado. Entonces $x$ y $y$ se asocian a los cuadrados.

Prueba. Si $x = \epsilon\, p_1^{e_1} \cdots p_r^{e_r}$ y $y = \eta \,q_1^{f_1}\cdots q_s^{f_s}$ son sus descomposiciones en elementos irreducibles, (con $\epsilon, \eta \in A^\times$ ) entonces el $p_i$ y el $q_j$ son disjuntos (porque $x$ y $y$ son coprimos) y la descomposición de $xy$ es entonces $xy = \epsilon\,\eta\, p_1^{e_1} \cdots p_r^{e_r}q_1^{f_1}\cdots q_s^{f_s}$ .

Porque $xy$ es un asociado a un cuadrado, todos los $e_i$ y todos los $f_j$ son enteros pares, lo que demuestra que $$x = \epsilon\, \left( p_1^{e_1/2} \cdots p_r^{e_r/2}\right)^2 \qquad \text{and}\qquad y = \eta \,\left( q_1^{f_1/2} \cdots q_s^{f_s/2}\right)^2.$$

Esto responde a su pregunta.

Y para responder a la preocupación de Alonso del Arte: $\alpha = (1+2i)^2 \in \mathbb Q(i)$ obras. Entonces $\alpha$ y $\overline{\alpha} = (1-2i)^2$ son coprimos ( $1 \pm 2i$ son elementos irreducibles y no están asociados porque $\pm 1$ y $\pm i$ son las únicas unidades) y $\alpha \overline{\alpha} = \left( (1+2i)(1-2i) \right)^2 = 25.$ Se pueden hacer estos ejemplos cada vez que un número primo $p$ (5 en este ejemplo) divide en $\mathbb Z[\sqrt d]$ .