¿Cómo puedo demostrar que este polinomio es irreducible?

Question

¿Cómo puedo demostrar que $x^4+1$ es un polinomio irreducible sobre $\mathbb Q$ ? Ya he probado el criterio de Eisenstein que me da cualquier resultado para resolver esta cuestión, necesito ayuda aquí.

Gracias

Answer 1

Aunque se pretende resolver el problema utilizando una variante del Criterio de Eisenstein, también se puede resolver utilizando sólo hechos elementales.

El polinomio $x^4+1$ no tiene raíces reales, así que si podemos reducir sobre $\mathbb{Q}$ es como un producto de cuadráticas.

Sin pérdida de generalidad, cada una de estas cuadráticas tiene un coeficiente principal $1$ . Desde $x^4+1$ no tiene $x^3$ término, las dos cuadráticas deben tener forma $x^2-ax+b$ y $x^2+ax+c$ .

El coeficiente de $x$ en el producto es $a(b-c)$ . Pero debe ser $0$ . Está claro que no podemos tener $a=0$ . Así que $b=c$ . Eso obliga a $b=c=1$ o $b=c=-1$ .

Pero el coeficiente de $x^2$ en el producto es $b+c-a^2$ . Así, $a^2=\pm 2$ . Esto no es solucionable en los racionales.

Observación: El polinomio tiene la bonita factorización $x^4+1=\left(x^2-\sqrt{2}x+1\right)\left(x^2+\sqrt{2}x+1\right)$ . Esto puede ser útil en algunos problemas de integración. La variante $x^4+4=(x^2-2x+2)(x^2+2x+2)$ tiene la costumbre de aparecer en los problemas de los concursos.

Answer 2

Pruebe la prueba de Eisenstein en $(x+1)^4+1=x^4+4x^3+6x^2+4x+2$ . ¿Puedes elegir el número primo?

Convénzase de que la (ir)reductibilidad se preserva con las traslaciones en la variable. Un truco ingenioso.