Sé que el espacio doble de$l^\infty$ no es$l^1$, pero no entendí el motivo. ¿Podría darme un ejemplo de$x \in l^1$ tal que si$y \in l^\infty$, luego$ f_x(y) = \sum_{k=1}^{\infty} x_ky_k$ no es un funcional lineal limitado en$l^\infty$, o tal vez un ejemplo de$x \notin l^1$ tal que si$y \in l^\infty$, entonces$ f_x(y) = \sum_{k=1}^{\infty} x_ky_k$ es un funcional lineal limitado en$l^\infty$?
Respuestas
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El punto es el siguiente: Hay delimitada funcionales en $\ell^\infty$, que no son de la forma $$ f(y) = \sum_k x_k y_k $$ para algunos $x$. No sé si es un funcional puede ser dada en forma explícita, pero existen. Deje $f \colon c \to \mathbb R$ (donde $c \subseteq \ell^\infty$ denota el conjunto de secuencias convergentes) por $f(x) = \lim_n x_n$. A continuación, $f$ es acotado, como $|\lim_n x_n| \le \sup_n |x_n| = \|x\|$. Deje $g \colon \ell^\infty \to \mathbb R$ ser una de Hahn-Banach extensión. Si $g$ donde el formulario antes mencionado, tendríamos (con $e_n$ $n$- ésima de la unidad de secuencia) $$ x_n = g(e_n) = f(e_n) = 0 $$ por lo tanto $g = 0$. Pero $g \ne 0$, como por ejemplo,$g(1,1,\ldots) = 1$.
Ralph Shillington
Puntos
156
Podemos mostrar la realidad más que $\ell_1$ $\ell_\infty^*$ no son de Banach-espacio isomorfo. (Hay no-reflexiva de los espacios de Banach isométricamente isomorfo a su segundo duales.)
Si usted acepta el hecho de que $\ell_\infty \cong C(\beta \mathbb{N})$ (que sigue de la definición misma de la Piedra–Čech compactification aplicado al espacio discreto de números naturales), podemos probar más. Una vez que vea esto, el doble de $C(\beta \mathbb{N})$ es no-separables, ya que contiene un innumerable conjunto discreto $\{\delta_x\colon x\in \beta\mathbb{N}\}$ (aquí se $\delta_x$ representa la delta de Dirac medida apoyada en $x$). Por supuesto, $\ell_1$ es separable por lo que no puede ser de Banach-espacio isomorfo a $\ell_\infty^*$.
