Quiero demostrar que, si $(X, \tau)$ es Hausdorff y $A\subseteq X$ no vacío entonces $A'$ el conjunto de puntos de acumulación es cerrado en $X.
Mi razonamiento:
$x \in X \setminus A' \rightarrow \exists\ U \subseteq X $ tal que $x\in U$, $U$ es abierto y $U \cap A \subseteq \{x\} $
Ahora, por la condición de Hausdorff, $\{x}$ es cerrado y por lo tanto $(X\setminus \{x}) \cap U = U\setminus \{x}$ también es abierto.
Sea $y \in U$, si $y\not = x $ entonces $y\in U\setminus \{x\}$ y $U\setminus \{x\} \cap A = \emptyset$
así que $y\in X\setminus A'$ entonces, como $x \in X\setminus A'$,
$U\subseteq X\setminus A'$ y $X\setminus A'$ es abierto, obteniendo el resultado.
Ahora, no estoy completamente seguro, no creo haber utilizado completamente la condición de Hausdorff ya que solo necesité el primer axioma de separación (implícito en Hausdorff) ...
¿Qué piensas? ¡Gracias!
