El subespacio cerrado de un espacio de Banach reflexivo es reflexivo

Question

Estoy estudiando el Análisis funcional de Conway por mi cuenta. En la página 132 de su libro, para demostrar que todo subespacio cerrado M de un espacio de Banach reflexivo X es reflexivo, dice $\sigma(X,X^*)_{|_{M}}=\sigma(M,M^*)$ . Pero no puedo entender cómo es. Por favor, mírame. Gracias de antemano

Answer 1

Se puede utilizar el criterio de que la reflexividad es equivalente a que la bola unitaria sea compacta en la topología débil. Entonces la intersección de la bola unitaria con el subespacio cerrado (que sigue siendo cerrado en la topología débil) también es compacta, por lo que $E\subseteq X$ es reflexivo.

Editar: Si quieres hacerlo directamente, puedes utilizar el teorema de Hahn Banach para hacerlo directamente, ya que un subespacio cerrado se caracteriza por las funcionales lineales que desaparecen en él. Entonces, si $E\subseteq X$ es un subespacio cerrado, vemos que

$$E^*\cong Hom_{\Bbb F}(X,\Bbb F)/\{f\in X^* : f(E)=0\}$$

donde aquí $\Bbb F$ es su campo, ya sea $\Bbb R$ o $\Bbb C$ . Entonces la dualización de esto da lugar al isomorfismo ya que el mapa

$$\begin{cases}X\to X^{**}=Hom_{\Bbb F}(Hom_{\Bbb F}(X,\Bbb F), \Bbb F) \\ x\mapsto E_x\end{cases}$$

es sobreyectiva se concluye que lo mismo ocurre pasando por el cociente.