¿Encontrar el centro de elipse usando una línea tangente?

Question

Necesito determinar el centro de coordenadas (a, b) de la elipse dada por la ecuación:

$$\dfrac{(x-a)^2}{9} + \dfrac{(y-b)^2}{16} = 1$$

Una tangente con la ecuación de $y = 1 - x$ pasa por el punto (0, 1) en la elipse de la circunferencia.

Supongo que tengo que encontrar el implícito derivado de la primera, pero no estoy muy seguro de cómo derivar la parte de la derecha. Según mi calculadora, la diferencia implícita es:

$\frac{-16(x-a)}{9(y-b)}$

Pero realmente me gustaría probar y hacerlo a mano. Sólo estoy realmente seguro de los pasos que necesita tomar para solucionar esto.

Gracias por la ayuda.

Answer 1

Si está tratando de encontrar implícitamente la derivada de$$\dfrac{(x-a)^2}{9} + \dfrac{(y-b)^2}{16} = 1$ $, comenzaría multiplicando por$144$ para obtener$$16(x-a)^2 + 9(y-b)^2 = 144$ $ Luego tome la derivada, término por término.

$[16(x-a)^2 ]' = 16[(x-a)^2]' = 16 \cdot 2(x-a)^1 \cdot x' = 32(x -a) \cdot 1$, ya que $x' = 1$.

Del mismo modo para$y$, encontramos que$[9(y-b)^2]' = 18(y-b) \cdot y'$

Entonces, la derivada de$16(x-a)^2 + 9(y-b)^2 = 144$ es$$32(x-a) + 18(y-b) \cdot y' = 0$ $

Restando$32(x-a)$ de ambos lados y luego dividiendo por$18(y-b)$ dará el mismo resultado que dio su calculadora.

Answer 2

Sugerencias: seguir, comprender y probar lo siguiente

Como el punto$\;(0,1)\;$ está en la elipse,

ps

Ahora diferenciar implícitamente:

ps

Pero sabemos que

ps

Bueno, ahora resuelve las dos ecuaciones variables que tienes arriba ...