encuentra$f(x)$ cuando$3f(x-6)-2f(x-9)=x^2-54$

Question

Puedo demostrar fácilmente que con la suposición$f$ es un polinomio$f(x)=x^2$. Pero sin esa suposición, ¿cómo puedo probar que$f(x)=x^2$ ???. He intentado muchos cambios de variables$x=u+k$ pero no obtuve ningún resultado. Estoy perdido aquí

Answer 1

Deje$g(x)$ ser tal que$3g(x)-2g(x-3)=0$. Por ejemplo, tome cualquier$h(x)$ periódico en$[0,1]$ y permita$g(x)=h(x/3)\left(\frac23\right)^{x/3}$. Entonces$g(x)+x^2$ también satisface tu ecuación. Entonces hay muchas soluciones para tu ecuación.

Answer 2

Deje $f(x)$ ser el polinomio de $x$.

Deje $n\ge 3,$ ser el más mínimo poder de $x$ cuyo coeficiente de$(a)$ pueden $\ne 0$.

El coeficiente de $x^n$ $3f(x−6)−2f(x−9)$ $3a-2a=a$

Pero el coeficiente de $x^n$ donde $n\ge 3$ $x^2−54$ $0\implies a=0$

Por eso, $f(x)$ no puede contener cualquiera de los poderes superiores $(\ge 3)$ $x.$

Por eso, $f(x)=bx^2+cx+d$

$3f(x−6)−2f(x−9)=x^2−54$

$b(x-h)^2+c(x-h)+d=x^2(b)+x(c-2bh)+(d-ch+bh^2)$

El coeficiente de $x^2$ $3f(x−6)−2f(x−9)$ $3b-2b=b$

Pero el coeficiente de $x^2$ $x^2−54$ $1\implies b=1$

El coeficiente de $x$ $f(x−h)$ $c-2bh=c-2h$

Así, el coeficiente de $x$ $3f(x−6)−2f(x−9)$ $3\{c-2(-6)\}-2\{c-2(-9)\}=c$

Pero el coeficiente de $x$ $x^2−54$ $0\implies c=0$

El término constante en $f(x−h)$ $d-ch+bh^2=d+h^2$

El término constante en $3f(x−6)−2f(x−9$ $3\{d+(-6)^2\}-2\{d+(-9)^2\}=d-54$

El término constante en $x^2−54$ $-54\implies d-54=-54\implies d=0$

Por eso, $f(x)=x^2+0x+0=x^2$