Encuentra el núcleo de una transformación lineal de $P_2$ a $P_1$

Question

Por alguna razón, este problema en particular me está desanimando:

Encuentra el núcleo de la transformación lineal:

$T: P_2 \rightarrow P_1$
$T(a_0+a_1x+a_2x^2)=a_1+2a_2x$

Dado que el núcleo es el conjunto de todos los vectores en $V$ que satisfacen $T( \vec {v})= \vec {0}$ es obvio que $a_0$ puede ser cualquier número real. Lo que importa, si entiendo correctamente, es que $a_1$ y $a_2$ debe ser igual a 0 para satisfacer el vector cero (es decir. $0+2(0)x$ ).

Concedido que lo que declaré es correcto, ¿por qué mi libro dice que el $ \ker (T)=\{a_0: a_0 \; \text {is real}\}$ ?

Sí, $a_0$ puede ser cualquier número real, pero lo que debe $a_1$ o $a_2$ ¿Igual? No veo que se especifique dentro del conjunto. Tal vez esté implícito no estoy seguro.

Permítame añadir algunos detalles más:

De nuevo, si entiendo correctamente, podría hacer un sistema de ecuaciones como tal:
$a_1 = 0$
$2a_2 = 0$

A partir de eso puedo traducirlo a una matriz y encontrar que $a_1$ y $a_2$ realmente es igual a cero.

Answer 1

Su argumento es totalmente correcto. Su libro significa que $ \ker (T)=\{a_0+0 \cdot x+0 \cdot x^2|a_0 \in \mathbb {R}\}$ es decir. $a_1=0$ y $a_2=0$ que es lo mismo que tú probaste.