Integrando $\int\tan\theta\sec^5\theta\ d\theta$

Question

Este problema es relativamente sencillo, pero por alguna razón, mi respuesta está fuera de la potencia de 1.

$$\int \tan \theta \sec^5\theta d\theta $$

Los pasos que doy son

• Paso 1. $$ u = \sec \theta $$ $$ du = \tan\theta $$
• Paso 2. $$ \int u^5 du $$
• Paso 3. $$ (u^6 / 6) $$
• Paso 4. $$ \frac{(\sec\theta)^6}{6} + c $$

Sin embargo, la respuesta según wolfram es $$ \frac{(\sec\theta)^5}{5} + c $$

Answer 1

$$ \int \tan\theta\sec^5\theta\,d\theta = \int (\sec^4\theta)\Big( \tan\theta\sec\theta\, d\theta\Big) = \int u^4\, du. $$

Answer 2

También puedes escribir la integral en términos de senos y cosenos. Verás entonces que es esencialmente una función en términos de cosenos, ya que el seno se tiene en cuenta por la regla de la cadena. Una suba en U es excesiva aquí. Lleva el término del coseno "hacia arriba" y aplica la regla de la potencia para integrar.