Igualdad / Equivalencia de funciones

Question

Cuando decimos algo como: $$ \frac{dy}{dx} = x$$ estamos describiendo la manera en que una función $y$ cambios con respecto a $x$. Para resolver la ecuación diferencial integramos ambos lados. Hay una manera correcta de hacer esto, o es simplemente el caso de que si tienen un método confiable para obtener la respuesta correcta, entonces está bien. Por ejemplo:

Método 1: $$ \int\frac{dy}{dx} dx = \int x \, dx$$ $$ \int dy= \int x \, dx$$ $$ y + c_1 = \frac{x^2}{2} + c_2$$

Método 2: $$ \frac{dy}{dx} = x$$ $$ dy = x \, dx$$ $$ \int dy= \int x \, dx$$ $$ y + c_1 = \frac{x^2}{2} + c_2$$

Este es el pensamiento que me lleva a la pregunta del título.

1. ¿Por qué es bueno para integrar ambos lados de una ecuación? Estamos basando esto en el hecho de que la integración indefinida es simplemente la inversa de la diferenciación? Será la integración de ambos lados siempre tiene sentido continua, integración, funciones elementales?

2. Podemos integrar sin respeto a una variable? En el método 2 empleados de la integración operador en ambos lados sin la adición de un diferencial (sé que ya estaba allí).

3. Si escribo $ y'' + 5xy = 2x^2$, es aceptable para integrar ambos lados de la ecuación con respecto a y, o x, y obtener una válida la igualdad como resultado?

4. Cuando escribo: $ xy + y^x = 2x + 3$, tal vez este es el mal ejemplo, pero no estoy afirmando que el lado izquierdo es el mismo que el del lado derecho, o estoy proponiendo que hay ciertos valores de x y y que satisfacen la ecuación.

Estoy teniendo una especie de crisis fundamental aquí. No creo que se me ha enseñado correctamente lo que significa igualdad. Si lo fueras, ¿dónde aprendiste?

Answer 1

Creo que algunos de la fuente de la confusión es pensar acerca de la "integración de ambos lados" y en el uso de las variables de algo de forma indiscriminada. Hay formas de hacer ambas cosas correctamente después de que usted ha desarrollado algunos intuición, pero en el comienzo de su estudio, usted debe centrarse más en el significado.

Una mejor manera de hacer su pregunta es

La única cosa que yo sé acerca de una función desconocida $f$ es que $f'(x) = x$, What can I say about $f$?

Bueno, tal vez tengo suerte y puedo adivinar uno de esos función: $f(x) = x^2/2$. (Que podría ser algo más que suerte. Yo en realidad podría recordar algo acerca de la integración). Entonces puedo invocar un teorema que me dice que cualquiera de las dos funciones con la misma derivada debe difieren por una constante. Que me dice que las únicas posibilidades para $f$ $$ f(x) = x^2/2 + c $$ para algunas constantes $c$.

Si yo no soy tan afortunado, y no puede adivinar o encontrar una función cuya derivada es lo que quiero, creo que puedo responder a la pregunta, pero de una manera diferente. Por ejemplo, yo podría encontrar $f$ cuando sé $$ f'(x) = e^{-x^2} \text{ o } f'(x) = \cos(x + \sin(x)). $$ (El primero de estos es muy útil. La segunda es que acaba de hacer feo. No hay ninguna buena "fórmula" para $f$ en cada caso).

La manera de proceder, entonces, es definir $f$ como una integral definida. En el primer ejemplo se puede dejar $$ f(x) = \int_0^x e^{-t^2} dt $$ y calcular el valor de cualquier particular, $x$ numérica: es sólo un bien definida de la zona. La derivada de la función definida por tabulando los valores es en realidad la da $f'(x) = e^{-x^2} $. Eso es (esencialmente) el teorema fundamental del cálculo.

En los otros ejemplos de preguntar acerca de la derivada(s) de la función desconocida se mezclan con los valores de la función en mucho más complicado maneras que simplemente $$ f'(x) = \text{algunas expresiones que involucran a } x. $$ Luego has de comenzar el estudio de ecuaciones diferenciales.

De largo aliento respuesta. Espero que ayude.

Answer 2

Método de $2$ se considera más adecuado y nota $\int x dx = \frac{1}{2}x^2 + C$. Sin embargo, sólo se necesita una constante arbitraria en la solución, $y = \frac{1}{2}x^2 + C$ sería suficiente para que una solución desde la $c_2 - c_1$ resultaría en una nueva constante, donde la llamamos $C$.

1) está bien para integrar ambos lados de una ecuación cuando hemos dividido nuestras variables. En otras palabras, cuando tenemos $f(x,y)dx + g(x,y)dy = h(x,y)$, podemos manipular para parecerse a $\alpha(x)dx = \beta(y)dy$. Sin embargo, a veces esto no es factible, por lo que el tema de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (ODEs) se introduce en algunos de los casos donde no es separable. Y sí, la integración de ambos lados siempre va a tener sentido cuando la función es Riemann integrable.

2) No, no podemos integrar sin respeto a la variable. Esto no tendría sentido. Se integran ambos lados, debido a que ya tenía en el formulario que implican un diferencial. Integrada con el fin de eliminar el diferencial.

3) Cuando se administra $y'' + 5xy = 2x^2$ asumiendo $y''$ es la segunda derivada con respecto a $x$, tendría que abordar la solución de este uso de las técnicas de la educación a distancia, no es tan simple como la integración de dos veces!

4) Cuando ha $xy + y^x = 2x + 3$, usted está tratando $x$ $y$ como variables de aquí. Eres lo que implica que no pueden existir soluciones, es decir, $x$ $y$ que satisfacen esta ecuación. Claramente, esto no es cierto para todos los $x$$y$, por lo que el lado derecho no es igual a la izquierda en general. Sin embargo, puede haber ciertas $x$ $y$ que hacen de la igualdad de verdad.

Answer 3

Voy a estar en desacuerdo con algunas de las anteriores respuestas un poco.

La forma en que suelen hacer las matemáticas, la igualdad es realmente un operador sobrecargado que depende de donde estamos trabajando. Esto podría no ser trivialmente evidentes de inmediato, pero considerar el$2\in \mathbb{N}$,$2\in \mathbb{Z}$,$2\in \mathbb{Q}$, $2 \in \mathbb{R}$ e las $2\in \mathbb{C}$ como un ejemplo. Cada uno de estos bajo la norma construcciones completamente diferentes objetos. Sin embargo, nos prefieren pensar en ellos como idénticos. I. e. Si escribo $2=(+2)=(2/1)=(\sqrt{2})^2=2+0i$, me imagino que todo el mundo estaría de acuerdo en que estos son iguales. Aunque hay una buena probabilidad de que el primer $2=\{\{\},\{\{\}\}\}$ el segundo $2=\{1,\{1,2\}\}$ tercera $2=\{(a,b);\;a=2b\wedge a,b\in\mathbb{Z}\}$ cuarto $2=\{x;x<2\wedge\; x\in \mathbb{Q}\}$ y el quinto $2=\{2,\{2,0\}\}$, donde los símbolos $2$ en los lados de la parte derecha de las ecuaciones deben ser entendidas como las definidas anteriormente.

Para responder a sus preguntas en orden.

1) Si dos cosas son iguales y se aplica la misma función tanto de ellos, a continuación, el resultado de la aplicación de la función sigue igual. En otras palabras, si $a=b$ $f(a)=f(b)$ siempre $f(a)$ tiene sentido. Ahora indefinida de la integración no es una función (es por eso que conseguir uno de esos desagradables $c$'s siempre que lo integran. Por lo tanto la realización indefinido integración no (necesariamente) mantener la igualdad. Pero sí mantener la igualdad hasta una constante aditiva. Si $a=b$ $\int a\;dt=\int b\;dt+C$ para algunas constantes $C$. Si todo esto es hecho a través de los números reales, que la constante es un número real. Es por eso que si se escribe como lo hizo la última ecuación tiene. Los dos primeros no espera a menos que usted piensa de las integrales como la representación de conjuntos de funciones. Aquí estoy hablando sobre el método 1. El método 2 es un montón de abuso de notación diferencial o uno de los formularios. Si el anterior es el mismo que el método 1, si este último no quiero entrar en eso.

2) realmente no Se puede integrar sin integrar con respecto a una variable. (Bueno más o menos se puede ya que se puede integrar con respecto a una medida, sino que es más complejo y usted todavía necesita tener una cierta comprensión de lo que las variables son.)

3) Sí, hasta las salvedades indicadas anteriormente. Usted puede conseguir las cosas que no ayuda mucho, pero se pueden integrar.

4) no es obvio, en general, de que sólo la ecuación de lo que quieres decir. Dado que no hay otra información que la $xy+y^x=2x+3$ es poco lo que podemos hacer con él. Es urgentemente underdefined, como son la mayoría de las oraciones tomadas fuera de contexto. En todo lo que hacemos tratamos de llenar en su contexto. Si yo digo "Trump beats Hillary," que son sin duda no se le da suficiente contexto para saber de qué estoy hablando, tal vez yo conozco a un tipo que late esposa y su nombre si el Triunfo y el de ella Hillary, o hay un juego en el que hillary es una tarjeta de valor y triunfos de beat it. Pero lo más probable es que asume que prefiero el presidente actual de estados unidos a su rival en los últimos años de la carrera, ya que es el más probable de contexto (no necesariamente).

El mismo es con $xy+y^x=2x+3$, se podría afirmar que esta es una identidad, en cuyo caso es sólo una declaración falsa. Pero es más probable que $x$ $y$ son variables y están alegando que de esta relación. No es obvio lo que los valores de $x$ $y$ puede tomar aunque (es esta una ecuación sobre los enteros? racionales? reales? $\mathbb{Z}_5$?)

Para responder a tu última pregunta me enteré de lo $=$ significado a lo largo de muchos años, comenzando en la escuela primaria y sobre todo habiendo captado por el final de mi carrera. Donde fui a la escuela me siento no hay muchos obstáculos que puso en mi camino para llegar a la comprensión correcta. Por lo que he visto de el sistema escolar en estados unidos parece salir de su camino para asegurarse de que los estudiantes nunca se consigue la idea.

Answer 4

1) Una igualdad siempre significa que la "cosa" en el lado izquierdo es la misma "cosa" como la "cosa" en el lado derecho. No hay ninguna diferencia en ningún aspecto entre los dos "cosas". Si hay alguna diferencia, entonces ellos no son iguales y la ecuación es incorrecta. Por lo tanto, la integración de un lado de una recta ecuación debe ser equivalente a la integración de la otra parte.

2) No. La integración no tiene ningún significado en absoluto, aparte de la integración de más de una variable.

3) Se puede escribir una ecuación integral, seguro. No le dirá mucho sin una solución, porque de ese término que mezcla $x$$y$. Se le acaba de ver como $\int 5xy dx$. Usted simplemente no puede decir que es igual a $5yx^2/2$, sólo en caso de que lo que estábamos pensando.

4) Usted está diciendo que los lados izquierdo y derecho son los mismos, y, a continuación, usted tiene que admitir que la implicación lógica de que esto sólo puede ser cierto para la combinación correcta(s) de $x$$y$. Si resulta que no hay ningún tipo de combinaciones, luego de haber escrito una incorrecta de la ecuación.