¿No es una condición necesaria que el orden de dos grupos sea igual para que sean isomorfos?
Hace " $G$ es un grupo simple de orden impar" implica de alguna manera " $|G|$ es primordial"?"
Si no, no veo cómo no puede ser el caso que $|G|$ es algún número compuesto impar, por lo que no podría ser isomorfo a ningún $Z_p$ donde $p$ es primo.
¿No es una condición necesaria que el orden de dos grupos sea igual para que sean isomorfos?
Lo es. Dos grupos isomorfos cualesquiera tienen el mismo orden.
Hace " $G$ es un grupo simple de orden impar" implica de alguna manera " $\lvert G \rvert$ es primordial"?"
Sí, lo es. Esto equivale a la Teorema de Feit-Thompson que todo grupo finito de orden impar es soluble, como se discute en la pregunta Todo grupo simple de orden impar es isomorfo a $\mathbb{Z}_{p} $ si todo grupo de orden impar es soluble . Ese teorema se demostró en el documento de 255 páginas de 1963 Solvabilidad de los grupos de orden impar .
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Sí, los grupos isomorfos tienen el mismo orden. Todo grupo simple de orden impar tiene orden primo; este es el teorema de Feit-Thompson, un resultado muy profundo y muy difícil (y muy importante).
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Para la segunda frase del comentario anterior, véase esta pregunta de MSE .
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Un grupo simple es aquel que no tiene subgrupos normales no triviales. Cuando un grupo no trivial es a la vez simple y abeliano, entonces es isomorfo a $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ para un primer $p$ . Como le gustaba decir a mi profesor de posgrado, estos son los "grupos simples".