Cómo encontrar $\int \frac{e^{-x^2}}{x^2 + 1} dx$ ?

Question

Tengo una pregunta sobre las integrales impropias:

¿Cómo podemos encontrar $\lim_{n \rightarrow +\infty}\int_{-n}^{n} \frac{1 - e^{-nx^2}}{x^2(1+nx^2)}dx$ ?

$\textbf{Some effort:}$

$\lim_{n \rightarrow +\infty}\int_{-n}^{n} \frac{1}{n} \frac{1 - e^{-nx^2}}{x^2(1+nx^2)}dx = \lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{2}{n}\int_{0}^{n} \frac{1 - e^{-nx^2}}{x^2(1+nx^2)}dx$ $~~~~~\textbf{(1)}$

Al establecer $nx^2 = u$ tenemos $dx = \frac{1}{2\sqrt{n}} \times \frac{1}{\sqrt{u}}$ et $x = \frac{\sqrt{u}}{\sqrt{n}}$ . Así que sustituyendo estos en $\textbf{(1)}$ tenemos (no pondré límites y al final volveré a los límites iniciales y también dejaré de lado la constante en las integrales)

$\textbf{(1)} = \lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{2}{n} \int \frac{1 - e^{-u}}{\frac{u}{n}(1+u)} \times \frac{1}{2 \sqrt{n}}\times \frac{1}{ \sqrt{u}} du = \lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{1}{\sqrt{n}} \int \frac{1 - e^{-u}}{ u \sqrt{u}(1+u)} du$

$= \lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{1}{\sqrt{n}} \int ( \frac{1 }{ u \sqrt{u}(1+u)} - \frac{e^{-u} }{ u \sqrt{u}(1+u)}) du$ $~~~~~\textbf{(2)}$

Al establecer $\sqrt{u} = v$ tenemos $\frac{1}{2\sqrt{u}}du = dv$ . Así que sustituyendo estos en $\textbf{(2)}$ tenemos

$\textbf{(2)} = \lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{2}{\sqrt{n}} \int (\frac{1}{v^2(1+v^2)} - \frac{e^{-v^2}}{v^2(1+v^2)} dv)$ $~~~~~\textbf{(3)}$

$\textbf{(3)}= \lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{2}{\sqrt{n}} \int ( \frac{1}{v^2} - \frac{1}{1+v^2} - \frac{e^{-v^2}}{v^2} + \frac{e^{-v^2}}{v^2 + 1}) dv$

Ahora calcularemos cada término por separado.

Primera parte:

Para encontrar $\int \frac{1}{v^2} dv$ , estableciendo $k_1=-\frac{1}{v}$ tenemos $dk_1 =\frac{1}{v^2} dv$ y así tenemos $\int \frac{1}{v^2} dv = \int dk_1= k_1= -\frac{1}{v}= -\frac{1}{\sqrt{u}}= -\frac{1}{\sqrt{nx^2}} = -\frac{1}{\sqrt{n}|x|}$

Segunda parte:

Para encontrar $-\int \frac{1}{1+v^2} dv$ , estableciendo $k_2 = \arctan(v)$ tenemos $dk_2 = \frac{1}{1 + v^2}dv$ y así tenemos $-\int \frac{1}{1+v^2} dv = -int dk_2= -k_2= -\arctan(v) = -\arctan(\sqrt{u}) = -\arctan(\sqrt{nx^2}) = -\arctan(\sqrt{n}|x|)$

Tercera parte:

Para encontrar $-\int \frac{e^{-v^2}}{v^2} dv$ , estableciendo $\begin{cases} k_3=e^{-v^2}\\ -\frac{1}{v^2}=dk_4 \end{cases}$ tendremos $\begin{cases} dk_3=-2ve^{-v^2}\\ k_4= \frac{1}{v} \end{cases}$ y nuestra integral se transformará en $-\int \frac{e^{-v^2}}{v^2} dv = \frac{e^{-v^2}}{v} - 2 \int e^{-v^2} dv = \frac{e^{-v^2}}{v} - 2(\frac{\sqrt{\pi}}{2}) = \frac{e^{-v^2}}{v} - \sqrt{\pi} = \frac{e^{-(\sqrt{u})^2}}{\sqrt{u}} - \sqrt{\pi} = \frac{e^{-u}}{\sqrt{u}} - \sqrt{\pi} =\frac{e^{-nx^2}}{\sqrt{nx^2}} - \sqrt{\pi}=\frac{e^{-nx^2}}{\sqrt{n}|x|} - \sqrt{\pi}$

Cuarta parte:

Para encontrar $\int \frac{e^{-v^2}}{v^2 + 1} dv$ No puedo encontrarlo.

¿Puede alguien ayudarme a encontrar $\int \frac{e^{-v^2}}{v^2 + 1} dv$ ?

Gracias.

Answer 1

$$I_n=\int_{-n}^{n} \frac{1 - e^{-nx^2}}{x^2(1+nx^2)}\,dx=2\int_{0}^{n} \frac{1 - e^{-nx^2}}{x^2(1+nx^2)}\,dx$$ Dejemos que $$nx^2=t\implies x=\frac{\sqrt{t}}{\sqrt{n}}\implies dx=\frac{dt}{2 \sqrt{n} \sqrt{t}}$$ haciendo $$I_n=\sqrt{n}\int_0^1\frac{ \left(1-e^{-t}\right)}{ t^{3/2} (t+1)}\,dt$$ No es necesario calcular nada más para demostrar que $I_n$ es simplemente proporcional a $\sqrt{n}$ y simplemente concluir.

Ahora, como se ha dicho en las respuestas, la última integral no se puede calcular y se requieren expansiones en serie. Usando Taylor, tendríamos $$\frac{ \left(1-e^{-t}\right)}{ t^{3/2} (t+1)}=\frac{1}{\sqrt{t}}-\frac{3 \sqrt{t}}{2}+\frac{5 t^{3/2}}{3}-\frac{41 t^{5/2}}{24}+\frac{103 t^{7/2}}{60}-\frac{1237 t^{9/2}}{720}+O\left(t^{11/2}\right)$$ $$\int \frac{ \left(1-e^{-t}\right)}{ t^{3/2} (t+1)}\,dt=2 \sqrt{t}-t^{3/2}+\frac{2 t^{5/2}}{3}-\frac{41 t^{7/2}}{84}+\frac{103 t^{9/2}}{270}-\frac{1237 t^{11/2}}{3960}+O\left(t^{13/2}\right)$$ Utilizando los límites, deberíamos obtener $$\int \frac{ \left(1-e^{-t}\right)}{ t^{3/2} (t+1)}\,dt=\frac{1634621}{1081080}\approx 1.51203$$ mientras que la integración numérica llevaría a $\approx 1.38990$

Answer 2

Por desgracia, esta integral no tiene una forma cerrada en términos de funciones conocidas, elementales o no elementales. Tendrías que integrarla numéricamente si quieres hacer algo práctico con ella.

La expansión en serie de la integral (a $x=0$ ), aunque no es en absoluto una forma cerrada, es, según W|A:

$$\int \frac{e^{-v^2}}{v^2 + 1} dv \approx x - \frac{2 x^3}3 + \frac{x^5}2 - \frac{8x^7}{21} + \frac{65 x^9}{216} - \frac{163 x^11}{660} + O(x^{13})$$

Y de su original integral: $$\int \frac{e^{-nx^2}}{x^2(1 + nx^2)} dx \approx -\frac 1x - 2 n x + \frac{5 n^2 x^3}6 - \frac{8 n^3 x^5}{15} + O(x^6)$$