¿Conjunto infinito totalmente ordenado con todos los subconjuntos no vacíos que contienen ambos extremos?

Question

Me pregunto si hay algún conjunto infinito que pueda ordenarse totalmente de forma que todos los subconjuntos no vacíos contengan un elemento máximo y uno mínimo.

Tengo claro que esto es imposible en los ordenamientos discretos y en los ordenamientos densos acotados estándar como $[0,1]$ ¿pero se sabe que esto es imposible en general?

Answer 1

Esto es realmente imposible. Esto se debe a que cualquier orden lineal $L$ tiene una secuencia creciente infinita o una secuencia decreciente infinita (o ambas), y cualquiera de ellas proporciona un contraejemplo.

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Técnicamente, la observación anterior requiere una elección (piense en un conjunto infinito Dedekind de reales). Sin embargo, en realidad no necesitamos elección para este problema:

Supongamos que $L$ es un orden lineal. Sea

$$D=\{x\in L: \text{ there are finitely many points } <x\}$$

Si $D$ tiene un elemento máximo $y$ entonces $\{z\in L: y<z\}$ es infinito (ya que $L$ es infinito) y no tiene ningún elemento mínimo, por lo que $D$ no puede tener un elemento máximo. Si $D$ es no vacía, entonces $D$ es un contraejemplo de la propiedad deseada.

Así que $D=\emptyset$ . Pero entonces $L$ no tiene un elemento mínimo, por lo que $L$ es un contraejemplo.

De forma concisa:

Supongamos que $L$ es un orden lineal. Si $L$ tiene un elemento menor, entonces el conjunto de elementos con un número finito de elementos menores no tiene un máximo.

Del mismo modo, si $L$ tiene un elemento mayor, entonces el conjunto de elementos con un número finito de elementos mayores no tiene ningún mínimo.

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Por cierto, volviendo a la observación de la parte superior de la respuesta: aunque esta no es la mejor manera de resolver este problema, ya que requiere una elección, conduce a una pregunta realmente interesante. A saber, el conjunto $\{\omega, \omega^*\}$ (donde $L^*$ denota la inversa de $L$ ) es un base para los órdenes lineales infinitos: un orden lineal es infinito si contiene una copia de $\omega$ o de $\omega^*$ . Además, ésta es claramente la base más pequeña para los infinitos ordenamientos lineales. Así que podemos preguntar:

¿Qué pasa, por ejemplo, con los ordenamientos lineales incontables?

Esto resulta ser un problema muy profundo en la teoría de conjuntos; el mayor resultado positivo es debido a Justin Moore :

Supongamos que se cumple el axioma de forzamiento adecuado (PFA). Entonces $\{\omega_1,\omega_1^*,S, C,C^*\}$ es una base para los órdenes lineales incontables siempre que $C$ es una línea Countryman arbitraria y $S$ es un $\aleph_1$ -conjunto denso de números reales.

(Aquí un Línea Countryman es un orden lineal de cardinalidad $\aleph_1$ cuyo cuadrado es una unión contable de cadenas; la existencia de tal objeto no es inmediata, pero demostrable sólo en ZFC .)

Curiosamente, la elección de la línea de Countryman es significativa - diferentes líneas de Countryman pueden ser no isomorfas - pero la elección de $S$ resulta no serlo: asumiendo PFA, cualquier dos $\aleph_1$ -Los conjuntos densos de reales sin puntos extremos son isomorfos (esto se deduce de obra de Baumgartner No estoy seguro de dónde se ha dicho explícitamente por primera vez).

Answer 2

He aquí una prueba rápida de que esto es imposible. Supongamos que $X$ es un conjunto infinito totalmente ordenado tal que cada subconjunto no vacío tiene un elemento menor y un elemento mayor. En particular, $X$ tiene un elemento mínimo; llámalo $x_0$ . Ahora $X\setminus\{x_0\}$ es no vacía, por lo que tiene un elemento mínimo; llámalo $x_1$ . De la misma manera, $X\setminus\{x_0,x_1\}$ tiene un elemento mínimo, que llamamos $x_2$ . Continuando inductivamente, obtenemos una secuencia de elementos $x_n$ tal que $x_0<x_1<x_2<\dots$ . (Podemos continuar esto sobre todos los números naturales ya que $X$ es infinito por lo que $X\setminus\{x_0,\dots,x_{n-1}\}$ será siempre no vacía y podemos definir $x_n$ .)

Pero ahora consideremos el conjunto $A=\{x_n:n\in\mathbb{N}\}$ . No tiene ningún elemento mayor, ya que para cualquier $x_n$ , $x_{n+1}$ es un elemento mayor de $A$ . Esto es una contradicción.

Answer 3

Si un conjunto infinito está ordenado linealmente de tal manera que todo subconjunto no vacío tiene un elemento mínimo (y has omitido "no vacío") entonces tiene un segmento inicial que es isomorfo de orden a $\{\,0,1,2,3,\ldots\,\}.$ Ese segmento inicial no tiene un elemento mayor.

Answer 4

Demostrar que un orden parcial con un tope y un fondo, para el cual
todo subconjunto no vacío contiene la parte superior y la inferior, tiene
exactamente un punto.